2009-2010学年第2学期期末考试B卷试卷及解答

中国海洋大学2010学年春季学期期末考试试卷数学科学学院线性代数课程试题(B卷)共4页第1页符号说明：()rA表示矩阵A的秩，*A表示矩阵A的伴随矩阵，nI表示n阶单位矩阵，TA表示矩阵A的转置矩阵，ijA是A的代数余子式.一、填空（18分）1.设3214214314324321A,则42322212432AAAA=___________.解：1222324211342241234033124423AAAA2.已知矩阵513aA只有一个线性无关的特征向量，则a__________.解：若矩阵513aA有两个不同的特征值12，则对应于这两个特征值的特征向量线性无关，与只有一个线性无关的特征向量矛盾，因此有12，且1122358，即14再由21121615Aa得1a3.如果３阶方阵A的特征值分别为1，2，5，则A.题号一二三四五六总分得分优选专业年级学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------解：因为３阶方阵A有3个不同的特征值，因此存在可逆矩阵P使得1125PAP，即1125APP，因此1111221055APPPP4.已知BA,均为3阶矩阵，矩阵X满足EAXBBXABXBAXA其中E是3阶单位矩阵，则X.解：由EAXBBXABXBAXA得ABXABAXBE，即ABXABE，因此11XABAB5.已知4元非齐次线性方程组AXb，()(,)3rArAb，又知123,,为AXb的3个解，且14,1,0,3T，2323,0,3,6T，则AXb的全部解为.解：因为()(,)3rArAb，则齐次线性方程组0AX基础解系中有一个向量，又因为123,,为AXb的3个解，因此12332330Abb，即1233234,1,0,33,0,3,69,3,3,3TTT是齐次线性方程组0AX的一个解，因此AXb的全部解为1123324,1,0,33,1,1,1,TTkkk¡6.若二次型22212312313(,,)2fxxxxaxxxx可经正交线性变换xPy化为标准型221223yy，则a.解：二次型22212312313(,,)2fxxxxaxxxx经正交线性变换xPy化为标准型221223yy中平方项的系数事实上是其所对应的矩阵为10100101Aa的特征值，即A的特征值为2,3,0，因此23011a，即3a二、选择题（24分）1.设,AB均为n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵P，使1PAPB成立.现有四个命题：①A与B合同；②AB；③若A为正定矩阵，则B也是正定矩阵；④A与B有相同的特征值和特征向量.以上命题正确的是（）.A.②；B.①②；C.①②③；D.②③④解：①存在正交矩阵P，使得1TPAPPAPB②11APAPPAPB③0ny¡，由正交矩阵P可逆可得0xPy，因此若A为正定矩阵则有0TTTTTyByyPAPyPyAPyxAx，即B也是正定矩阵④由相似的矩阵有相同的特征值可得A与B有相同的特征值，但未必有相同的特征向量因此①②③正确2.设A是nm矩阵，且其列向量组线性无关，B是n阶方阵，满足AAB，授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日数学科学学院课程试题(A卷)共4页第2页则秩)(Br()A.等于nB.小于nC.等于1D.不能确定.解：由AAB得0ABE，因此rArBEn，由A列向量组线性无关得0rBE，因此0BE，即rBrEn3.与矩阵3021A不相似的矩阵是().A.3201B.1053C.2112D.3311解：因为相似的矩阵具有相同的特征值，矩阵3021A的特征值为1，3，矩阵3311的特征值为0，4，因此不相似4.设A是nm矩阵，0AX是非齐次线性方程组bAX所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）.(A)若0AX仅有零解，则bAX有唯一解；(B)若0AX有非零解，则bAX有无穷多解；(C)若bAX有无穷多解，则0AX仅有零解；(D)若bAX有无穷多解，则0AX有非零解。解：(A)若0AX仅有零解，只说明rAn，但rA与,rAb不一定相等，即bAX不一定有解(B)若0AX有非零解，只说明rAn，但rA与,rAb不一定相等，即bAX不一定有解(C)若bAX有无穷多解，说明,rArAbn，则0AX有非零解(D)若bAX有无穷多解，说明,rArAbn，则0AX有非零解因此选(D)5.已知xA10100002与10000002yB相似，则（）.(A)1,0yx，(B)0,1yx，(C)0yx，(D)1yx；解：因为相似的矩阵具有相同的特征值，由xA10100002与10000002yB相似可得有相同的特征值123,,，因此123123221200200001200201001xyyyx解得1,0yx6.设向量组321,,线性无关，向量组432,,线性相关，则（）.(A)1能由432,,线性表示；(B)4能由32,线性表示；(C)4未必能由32,线性表示；(D)以上都不对。解：(A)1不一定能由432,,线性表示，反例：12341,0,0,0,1,0,0,0,1,0,2,0(B)由向量组321,,线性无关，得23,线性无关，又因为向量组432,,线性相关，因此4能由32,线性表示；中国海洋大学2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院课程试题(A卷)共4页第3页(C)4未必能由32,线性表示，由(B)可知错误7.已知21,是方程组bAX的两个不同解，21,是对应齐次方程组0AX的基础解系，则bAX的一般解是（）.(A)2)(2121211kk;(B)2)(2112211kk;(C)2)(2121211kk;(D)2)(2121211kk.解：由21,是方程组bAX的两个不同解，因此112212,1kkkk也是方程组bAX的解，并且12是齐次方程组0AX的解，又因为21,是对应齐次方程组0AX的基础解系，说明0AX的两个线性无关的解都可以作为基础解系，因此bAX的一般解是特解加上两个线性无关的解的线性组合，(B)显然符合，至于(D)，不一定能判断线性无关性，(A)和(C)中没有bAX的特解8.BA,是两个不同的n阶方阵，且A与B相似，则BA,之间可能不同的是（）(A)特征值；(B)行列式值；(C)秩；(D)特征向量.解：相似的矩阵有相同的特征值，由1PAPB得11APAPPAPB，并且左乘右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，但相似的矩阵不一定有相同的特征向量三、计算（24分）1.设A可逆，且BABA1*，当200620062A时，求B.（8分）优选专业年级学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------解：由BABA1*，得1*)(ABIA，于是11*11*)()]([)(AIAIAAAIAB。而600660066200620062800080008AIA，用求逆矩阵的公式或者初等行变换法，得100110111611AIAB2.设321,,是3维向量空间3R的一组基，求由基32131,21,到133221,,的过渡矩阵.（8分）解.设由32131,21,到321,,的过渡矩阵是1P，321,,到133221,,的过渡矩阵是2P，32131,21,到133221,,的过渡矩阵是21PP，而),,(321321)31,21,(321，所以3211P；),,(133221110011101),,(321，即1100111012P.由基32131,21,到133221,,的过渡矩阵33002210121PPP3.求向量组TTTT)3,0,1,2(,)2,4,6,1(,)1,1,3,2(,)4,3,2,1(4321的秩及其一个极大线性无关组，并用它们表示其余向量.（8分）解.0000110010101001000011001010302100001100541021213030001919005410212152706150541021213214041316322121UA记),,,(4321U，则321,,是U的列向量组的一个极大线性无关组，TTT321,,也为A的列向量组的一个极大线性无关组，且TTTT3214.故秩3,,,4321，321,,为向量组4321,,,的一个极大线性无关组，且3214.四、证明题（10分）若向量组4321,,,线性相关，5432,,,线性无关.证明:1.1可以由432,,线性表示；2.5不能由4321,,,线性表示.证明：（1）由5432,,,线性无关知432,,线性无关；又4321,,,线性相关，故1可以由432,,线性表示（2）用反证法，5可由4321,,,线性表示，利用1）结果1可以由432,,线性表示，因此5可由432,,线性表示，与5432,,,线性无关矛盾。五、（12分）用正交变换法把二次型323121321222),,(xxxxxxAXXxx