2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(____________,其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2.设)(xf是连续函数,且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf____________.3.曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.4.设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定,其中f具有二阶导数,且1f,则22ddxy________________.二、(5分)求极限xenxxxxneee)(lim20,其中n是给定的正整数.三、(15分)设函数)(xf连续,10d)()(txtfxg,且Axxfx)(lim0,A为常数,求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(yxyxD,L为D的正向边界,试证:(1)LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin;(2)2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、(10分)已知xxexey21,xxexey2,xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、(15分)已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.八、(10分)求1x时,与02nnx等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、(25分,每小题5分)(1)设22(1)(1)(1),nnxaaa其中||1,a求lim.nnx(2)求21lim1xxxex。(3)设0s,求0(1,2,)sxnIexdxn。(4)设函数()ft有二阶连续导数,221,(,)rxygxyfr,求2222ggxy。(5)求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、(15分)设函数()fx在(,)上具有二阶导数,并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0x,使得0()0fx。三、(15分)设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定,其中()t具有二阶导数,曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切,求函数()t。四、(15分)设10,,nnnkkaSa证明:(1)当1时,级数1nnnaS收敛;(2)当1且()nsn时,级数1nnnaS发散。五、(15分)设l是过原点、方向为(,,),(其中2221)的直线,均匀椭球2222221xyzabc,其中(0,cba密度为1)绕l旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。六、(15分)设函数()x具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,曲线积分422()cxydxxdyxy的值为常数。(1)设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxxdyxy(2)求函数()x;(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydxxdyxy。2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一.计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1).求11cos0sinlimxxxx;(2).求111lim...12nnnnn;(3)已知2ln1arctanttxeyte,求22dydx。二.(本题10分)求方程2410xydxxydy的通解。三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且'0,0,0fff均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,kkk,使得12320230lim0hkfhkfhkfhfh。四.(本题17分)设2221222:1xyzabc,其中0abc,2222:zxy,为1与2的交线,求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五.(本题16分)已知S是空间曲线22310xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z)取上侧,是S在,,Pxyz点处的切平面,,,xyz是原点到切平面的距离,,,表示S的正法向的方向余弦。计算:(1),,SzdSxyz;(2)3SzxyzdS六.(本题12分)设f(x)是在,内的可微函数,且fxmfx、,其中01m,任取实数0a,定义1ln,1,2,...,nnafan证明:11nnnaa绝对收敛。七.(本题15分)是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x),满足021ff,201,1fxfxdx、?请说明理由。2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、(本大题共5小题,每小题6分共30分)解答下列个体(要求写出要求写出重要步骤)(1)求极限21)!(limnnn(2)求通过直线034550232:zyxzyxl的两个互相垂直的平面1和2,使其中一个平面过点)1,3,4(。(3)已知函数byaxeyxuz),(,且02yxu。确定常数a和b,使函数),(yxzz满足方程02zyzxzyxz(4)设函数)(xuu连续可微,1)2(u,且udyuxudxyx)()2(3在右半平面与路径无关,求),(yxu。(5)求极限dttttxxxxcossinlim13二、(本题10分)计算dxxexsin20三、求方程50121sin2xxx的近似解,精确到0.001.四、(本题12分)设函数)(xfy二阶可导,且0)(xf,0)0(f,0)0(f,求uxfufxx330sin)()(lim,其中u是曲线)(xfy上点))(,(xfxP处的切线在x轴上的截距。五、(本题12分)求最小实数C,使得满足1)(10dxxf的连续函数)(xf都有Cdxxf)(10六、(本题12分)设)(xf为连续函数,0t。区域是由抛物面22yxz和球面2222tzyx)0(z所围起来的部分。定义三重积分dvzyxftF)()(222求)(tF的导数)(tF七、(本题14分)设nna1与nnb1为正项级数,证明:(1)若01lim11nnnnnbbaa,则级数nna1收敛;(2)若01lim11nnnnnbbaa,且级数nnb1发散,则级数nna1发散。2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)1.求极限2lim1sin14nnn.2.证明广义积分0sinxdxx不是绝对收敛的3.设函数yyx由323322xxyy确定,求yx的极值。4.过曲线30yxx上的点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34,求点A的坐标。二、(满分12)计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx三、(满分12分)设fx在0x处存在二阶导数0f,且0lim0xfxx。证明:级数11nfn收敛。四、(满分12分)设,0fxfxaxb,证明2sinbafxdxm五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy。试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。六、(满分14分)设22aaCydxxdyIrxy,其中a为常数,曲线C为椭圆222xxyyr,取正向。求极限limarIr七(满分14分)判断级数1111212nnnn的敛散性,若收敛,求其和。2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)1.已知xey1和xxey1是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是____________________________________2.设有曲面222:yxzS和平面022:zyxL。则与L平行的S的切平面方程是_______________________________3.设函数)(xyy由方程xydttx124sin所确定。求0xdxdy_______________4.设nknkkx1)!1(。则nnxlim______________________5.已知310)(1limexxfxxx。则20)(limxxfx____________________二、(本题12分)设n为正整数,计算121lncosnedxxdxdI。三、(本题14分)设函数)(xf在]1,0[上有二阶导数,且有正常数BA,使得Bxf|)(|。证明:对任意]1,0[x,有22|)('|BAxf。四、(本题14分)(1)设一球缺高为h,所在球半径为R。证明该球缺体积为2)3(3hhR。球冠面积为Rh2;(2)设球体12)1()1()1(222zyx被平面6:zyxP所截得小球缺为,记球冠为,方向指向球外。求第二型曲面积分zdxdyydzdxxdydzI五、(本题15分)设f在],[ba上非负连续,严格单增,且存在],[baxn,使得bannndxxfabxf)]([1)]([。求nnxlim六、(本题15分)设2222221nnnnnnnAn。求nnAn4lim2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)(1)极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn.(2)设函数,zzxy由方程,0zzFxyyx所决定,其中,Fuv具有连续偏导数,且0uvxFyF。则zzxyxy.(3)曲面221zxy在点1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.(4)函数3,5,00.0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0x收敛的值是.(5)设区间0,上的函数ux定义域为的20xtuxedt,则ux的初等函数表达式是.二、(12分)设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。三、(12分)设fx在,ab内二次可导,且存在常数,,使得对于,xab,有fxfxfx,则fx在,ab内无穷次可导。四、(14分)求幂级数30211!nnnxn的收敛域,及其和函数。五、(16分)设函数fx在0,1上连续,且