2009-2015辽宁文科导数大题及答案

12009-2015辽宁文科导数大题及答案需要总结考试方向和方法：（2009辽文）设2()(1)xfxeaxx，且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行。（I）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II）证明：当[0,]f(cos)f(sin)22时，解：（Ⅰ）2'()(121)xfxeaxxax.有条件知，'(1)0f，故3201aaa.………2分于是2'()(2)(2)(1)xxfxexxexx.故当(,2)(1,)x时，'()fx＜0；当(2,1)x时，'()fx＞0.从而()fx在(,2)，(1,)单调减少，在(2,1)单调增加.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()fx在[0,1]单调增加，故()fx在[0,1]的最大值为(1)fe，最小值为(0)1f.从而对任意1x，2x[0,1]，有12()()12fxfxe.………10分而当[0,]2时，cos,sin[0,1].从而(cos)(sin)2ff………12分2（2010辽文）已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx。3（2011辽文）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2。（2012辽文）设()ln1fxxx，证明：(Ⅰ)当x﹥1时，()fx﹤32（1x）(Ⅱ)当13x时，9(1)()5xfxx4(Ⅰ)(法1)记()gx=3ln1(1)2xxx，则当x＞1时，()gx=113022xx，又∵(1)0g，∴()gx＜0，即()fx＜3(1)2x；……4分（法2）由均值不等式，当x＞1时，21xx，∴122xx，①令()ln1kxxx，则(1)0k，1()10kxx，∴()0kx，即ln1xx，②由①②得，当x＞1时，()fx＜3(1)2x.……4分(Ⅱ)（法1）记9(1)()()5xhxfxx，由(Ⅰ)得，()hx=21154(5)2xxx=22542(5)xxx＜25544(5)xxx=32(5)2164(5)xxxx，令()gx=3(5)216xx，则当13x时，()gx=23(5)2160x∴()hx在（1,3）内单调递减，又(1)0h，∴()hx＜0，∴当1＜x＜3时，9(1)()5xfxx.……12分（证法2）记()hx=(5)()9(1)xfxx，则当当1＜x＜3时，()hx=()(5)()9fxxfx＜311(1)(5)()922xxxx=1[3(1)(5)(2)18]2xxxxxx＜11[3(1)(5)(2)18]222xxxxxx=21(73225)4xxx＜0.……10分∴()hx在（1,3）内单调递减，又(1)0h，∴()hx＜0，∴当1＜x＜3时，9(1)()5xfxx.……12分5（2013辽文）（I）证明：当0,1x时，2sin;2xxx（II）若不等式3222cosx42xaxxx对0,1x恒成立，求实数a的取值范围.（Ⅰ）证明：记F（x）=22sin,()cos.22xxxx则F当(0,)4x时，()0Fx＞，F(x)在4[0，]上是增函数；当4x（，1）时，()xF在4[，1]上是减函数.又F(0)=0,F(1)＞0，所以当[0,1]x时，()0Fx，即22xsinx.记()sin,Hxxx，则当(0,1)x时，()cos10Hxx＜，所以H(x)在[0,1]上是减函数，则(0)0,HH(x)，即sinxx.综上，2sin,2xxxx[0,1].（Ⅱ）解法一:因为当x[0,1]时.33222(2)cos4(2)4(2)sin222xxxaxxxxaxxx3222(2)4(2)()(2).24xaxxxxax所以，当2a时，不等式222(2)cos42xaxxxx对[0,1]x恒成立.下面证明，当2a＞时，不等式322(2)cos42xaxxxx对[0,1]x不恒成立.因为当[0,1]x时，332222(2)cos4(2)4(2)sin222xxxaxxxxaxxx33222(2)4(2)()(2)222xxxaxxxaxx62332(2)[(2)].223axxxxa所以存在0(0,1)x（例如0x取23a和12中的较小值）满足32000002(2)cos42xaxxxx＞0，即当2a＞时，不等式322(2)cos402xaxxxx对[0,1]x不恒成立.综上，实数a的取值范围是2].（-，-解法二:记32()2(2)cos4,2xfxaxxxx，则23()22cos2(2)sin2xfxaxxxx.记(),xG(x)=f，则()234sin2(2)cosGxxxxx.当(0,1)x时，1cos2x＞，因此2()234,(2)(222)02Gxxxxx＜＜.于是f(x)在[0,1]上试减函数，因此，当x∈(0,1)时，f(x)＜f(0)=a+2,故当a≤-2时，f(x)0，从而f(x)在[0,1]上试减函数，所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2时，不等式322(2)cos42xaxxxx对[0,1]x恒成立.下面证明，当a-2时，不等式322(2)cos42xaxxxx对[0,1]x不恒成立.由于()fx在[0,1]上是减函数，且(0)20fa，71=2cos16sin1.2fa（）当76sin12cos12a时，(1)0f，所以当(0,1)x时，()0fx，因此()fx在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)=0;当-2a6sin1-2cos1-72时，(1)f0，又(0)f0，故存在0(0,1)x使0()0fx，则当0x0x时，)fx(0()0fx，所以f(x)在[0,0x]上是增函数，所以当0(0,)xx时，()fx(0)0f.所以，当a-2时，不等式322(2)4[0.1].2xaxxxx对不恒成立.7综上，实数a的取值范围是2].（-，-（2014辽文）已知函数()(cos)2sin2fxxxx，1sin2()()11sinxxgxxx.证明：（1）存在唯一0(0,)2x，使0()0fx；（2）存在唯一1(,)2x，使1()0gx，且对（1）中的01xx.