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2009年试卷1.给定线性空间R3的两组基x1=(1，0，1)，x2=（2，0，1），x3=（1,1,1）;y1=（1，2，-1），y2=（2，2，-1），y3=（2，-1，-1）.求基x1,x2,x3到y1,y2,y3的过度矩阵。2.设线性空间R2*2=｛A={xij}2*2,xij∈R｝（数域R上的二阶实方阵，按通常矩阵的加法和数乘构成的线性空间）的子集V=｛A={xij}2*2,x11+x22=0,xij∈R｝(1)给定V的变换T(X)=X+XT,验证T是线性变换；(2)求V的一组基，并求T在这组基下的矩阵；(3)求T的全体特征向量和特征值.3.设V为n维欧式空间，其中x为V中的固定的一个非零向量，证明：(1)V1=｛x,{x,x}=0,x∈V｝是V的一个子空间；(2)V1的维数是n-1.4.在R[x]3中定义内积(f,g)=∫1-1f(x)g(x)dx,(1)求1，x,x2正交单位化后所得的R[x]3的一组标准正交基；(2)求f(x)=x2-1在上述标准正交基下的坐标.5.设A=（202-1311-13）(1)证明在任意数域F上，A都不可能相似于一个对角阵；(2)设f(x)=x4-10x3+36x2-56x+32，求f(A)6.设A∈Cn*n,||A||M为满足相容性的矩阵范数，||A||T为从属于某向量范数||x||的算子范数.E为n阶单位矩阵.求证：(1)||E||M=1;(2)||E||T=1.7.设A=（1/10-1/54/51/10)试讨论幂级数∑（k=1到∞）(-1)kk2Ak的收敛性.8.设||A||a是Cn*n上的相容的矩阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明对任意A∈Cn*n,||A||b=||D-1AD||a是Cn*n上的相容矩阵范数.2012年试卷1.设线性空间V为由某函数x1=eatcosbtx2=eatsinbtx3=teatcosbtx4=teatsinbt生成的实数域上的线性空间，令y1=eatcosb(t-1),y2=eatsinb(t-1),y3=teatcosb(t-1),y4=teatsinb(t-1)(1)分别求向量y1y2y3y4在基函数x1x2x3x4下的坐标；(2)证明y1y2y3y4也为V的一组基；(3)求y1y2y3y4到x1x2x3x4的过度矩阵.2.设线性空间R2*2中的矩阵B=（01定义R2*2中的一个变换T为T(X)=XB,X∈R2*240），(1)证明T是线性变换；(2)求T在基E11=(10E12=(01E21=(00E22=(00下的矩阵,00),00),10),01),3.设e1e2e3e4e5是R5中的一组标准正交基.其中d1=e1-e3+e5,d2=e1-e2+e4d3=e1-3e2+2e3+3e4-2e5求V⊥的一组标准正交基.4.设T是欧式空间R3的线性变换，对（x,y,z）∈R3令:T（x,y,z）=(xcosαcosθ-ysinθ-zsinαcosθ,xcosαsinθ+ycosθ-zsinαsinθ,xsinα+zcosα)(1)求线性变换T在基e1=（1，0，0）T，e2=（0，1，0）T，e3=（0，0，1）T，下的矩阵.(2)证明：T为正交变换.5.设A=（1020-11010）求：（1）设f(x)=2x8-3x5+x4+x2-4，求f(A)；（2）求参数a,b,使A-1=aA2+bE.6.设A=（31-112-1210）（1）求A的不变因子，初等因子和最小多项式；（2）求A的约当标准型；（3）求eAt.7.设A=（-200021012）S==｛x,||x||2=1,x∈Cn｝.求：（1）矩阵A的算子范数||A||1和||A||∞.（2）||Ax||2在S上的最大值》8.已知A=（-110-430102）求：（1）求A的约当标准型及相变换矩阵P，使P-1AP=1（2）求矩阵函数f(A)=eA.