2009年数值计算方法参考答案

2009年参考答案一、取cos20.9994，计算1cos2。计算结果有多少位有效数字？怎样改进计算？解：1cos20.0006，计算结果至多有一位有效数字。利用恒等式21cos22sin1可提高计算精度。二、证明方程3()250fxxx在区间(2,3)内有唯一根*x，用二分法计算*x的近公似值nx时，试确定迭代次数使*31||102nxx（不要求计算nx）。解：1）(2)8451f，(3)276516f，由根的存在定理知，()0fx在区间(2,3)内至少有一个根。又当(2,3)x时，2()320fxx，()fx在区间(2,3)内内严格单调增加。故3()250fxxx在区间(2,3)内有唯一根*x。2）用二分法计算*x的近公似值nx时，有*1111||(32)22nnnxx。要*31||102nxx，只要31111022n。解之得3ln101110.97ln2n，取10n，得迭代10次，使*31||102nxx。三、求矩阵211339335A的Crout分解和Doolittle分解。解：1）Crout分解：设112122313233llllll121323111uuu=211339335，得112l，1212u，1312u，213l，2292u，2353u，313l，3292l，334l。得11122221195339312333591342。2）Doolittle分解：12112113915339122233534112。四、设210111012A计算1||||A，2||||A以及()A。解：1||||max{3,3,3}3A，2||||max{3,3,3}3A，又A的特征值为3，2，0。故()3A。五、用Jacobi迭法解方程组123122342143246xxxxxxx，是否收敛，若不收敛，则能否改写此方程组使得Jacobi迭代法收敛？解：Jacobi迭法的迭代矩阵为0424001002B，特征方程为：3()1640f，因(4)4f，(5)41f，得()f在区间(4,5)有一根。由此得，特征根的最大模一定大于1，即()1B。故Jacobi迭法发散。将方程组改为121232343421246xxxxxxx，则系数矩阵是严格对角占优的，Jacobi迭代法收敛。六、已知函数()fx在若干点的函数值：x00.30.60.9()fx1.0000060.98506740.94107080.8703632试用线性插值求(0.15)f和(0.45)f的近似值。解：由于0.15介于0与0.3之间，取0与0.3为节点进行线性插值。0.150.30.150(0.15)1.0000060.98506740.992546700.30.30f由于0.45介于0.3与0.6之间，取0.3与0.6为节点进行线性插值。0.450.60.450.3(0.45)0.98506740.94107080.96306910.30.60.60.3f七、已知以下数据：ix12345iy02254试用一次多项式按最小二乘原理拟合以上数据。解：矛盾方程为022324554ababababab法方程为51513155550abab解法方程得：0.7a，1.1b。得拟合函数为0.71.1yx。八、已知函数()fx在若干点处的值：ix-1-0.500.51()ifx02.12532.1250试计算积分11()fxdx的梯形值1T，2T，4T以及Simpson值1S，2S。解：11(1)(00)02T，1223322TT，241(2.1252.125)3.62522TT。12141433STT，242413.833333STT。九、试设计求积公式11211()[(1)2()3()]3fxdxffxfx使其代数精度尽可能地高，并指明求积公式所具有的代数精度。解：设公式对函数2(),fxxx是精确的，得12221212301232xxxx解之得：1165x，232615x。求积公式为：11116326()[(1)2()3()]3515fxdxfff。又代入3()fxx，左0，右0。故公式具有2阶代数精度。十、证明，用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题1,01(0)1yyxxy，对任意的h值得到的近似解都是相同的。证明：改进的Euler公式为：112121()2(,)(,)nnnnnnhyyKKKfxyKfxhyhK，初值问题的改进的Euler公式为22122222nnnhhhhyyxh。变形的Euler公式为：12121(,)(,)22nnnnnnyyhKKfxyhhKfxyK，初值问题的变形的Euler公式为22122222nnnhhhhyyxh（注意：变形的欧拉公式主要指中点欧拉公式，梯形公式和后退公式,此处我们考虑用梯形公式，但是这里的实质是他妈的二级二阶R-K方法推导的变形欧拉公式，课本公式10-5-9）故用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题1,01(0)1yyxxy，对任意的h值得到的近似解都是相同的。十一、求隐式Euler公式111(,)nnnnyyhfxy的绝对稳定区间。解：选取试验方程：00()yyyxy，由111(,)nnnnyyhfxy推出11nnnh111nnh01(1)nnh为使n不超过0，应有11(1)nh得绝对稳定区间为(,0)。（课本例10-6)