2009研究生数值分析试题及答案-石家庄铁道大学

1石家庄铁道学院2009级硕士研究生考试试卷课程名称数值分析任课教师王亚红2009年—2010年度第I学期姓名学号评分时间120分钟题号一二三四五合计分值3016201618100得分一填空(30分)1．TxA)3,2,1(,200120002，则A,x.2．,234)(23xxxf则8,6,4,2f3．用Gauss列主元消去法解方程组8116653542321,第一次选的列主元为.4．设)(],,[)(xPbaCxf是多项式，则)()(xPxf5．满足12)2(,1)1(,0)0()0(PPPP的不高于3次的插值多项式为,其余项为.6．为使两点数值求积公式：)()()(2111xfxfdxxf具有最高的代数精度，则其求积节点1x，2x.7.用G-S迭代法解方程组3242121xaxaxx，其中a为实数，G-S迭代法收敛的充要条件是a满足8．写出用牛迭代法求方程1172x的正根117的迭代公式9．将2112112A做Cholesky分解，L=210．设U=11......11121n,d=nddd...21，Ux=d的求解公式为二（16分）方程组221213112x=564;1．请用直接三角分解（LU分解）解此方程组；2．写出解此方程组的Jacobi迭代法的分量形式。三（20分）已知数据X-1123Y-30481.请作出差商表，求三次牛顿均差插值多项式；2.试用baxy拟和这组数据。四(16分)1．设ix为等距节点,写出满足)2,1,0()()(ixfxLii的插值多项式)(2xL;并利用)(2xL,试推导)(0'xf的插值型求导公式.2．能否用)(),,(210xLxxx的值作为)('xf的近似值？为什么？五（18分）1．取0~I为20I的三位有效数字1.41，计算序列nI的递推公式为：,2,1,1101nIInn，则10I的误差多大？这个算法稳定吗？2．设方程组bAx，若实际求的近似解为x，证明()xxbAxcondAxb若xAAx已很小，能否说明x已很近似bAx的精确解x吗？3石家庄铁道学院2009级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称数值分析任课教师王亚红一.(1-6题2分/空;7-10题3分/空)1.3，32.43.-34.)()(maxxPxfbxa5.)2)(1(!4)(),2(2)4(2xxxfxx6.33,3321xx7.21a8.,2,1,0,211721kxxxxkkkk9.323/22/3212L10.1,...,2,1,1nnkxdxdxkkkknn二(16分).1.解:221213112=32/12/1112132/112/31------8分解,bLy得304y解,yUx得111x.-----------------------------------------------12分2.Jacobi迭代法计算公式:初始向量)0(x2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx,,2,1,0k------------------------------16分4三.1.(10分)差商表XY一阶差商二阶差商三阶差商-1123-30483/2445/60-5/24-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003xxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理302))((iiiybaxI最小，----2分有00aIbI即iiiiiixyyabxxx24----------------------8分即36915554ab，解得b=1.2857，a=2.8286拟合曲线2857.18286.2xy----------------------10分四(16分)解:1．))(())(()()(2010210xxxxxxxxxfxL))(())(()(2101201xxxxxxxxxf5+))(())(()(1202102xxxxxxxxxf------------------------------6分计算)(0'xL2104321xfxfxfh----------------9分)()(0'0'xLxf=2104321xfxfxfh------------------------------------------12分2．)()(),,(210xLxfxxx,))()!1()(()()(1)1(2xnfxLxfnn,xxnfnn与,))()!1()((1)1(有关,)()(),,(210xLxfxxx无法估计.)(,2xLx不是插值节点时当的值不能作为)('xf的近似值.-----------------16分五.解1．(8分)004.041.10I21021------------------2分2000011102110)~(10)1~10(110~IIIIII------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~IIIIII类推有8210999910101021102110~10)1~10(110~IIIIII-----------6分计算到10I时，误差限为初始0I的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍，所以这个计算过程是不稳定的。-----------8分2．(10分)证明因,bAx所以有xAAxb即bAx1（1）----------------------------------------------3分xAbAxAAxAxx11)((2)-----------------------6分由(1),(2)得bxAbAcondxxx)(；-----------------8分6若xAAx已很小，不能说明x已很近似bAx的精确解x.因为如果cond(A)很大（病态矩阵），根据结论bxAbAcondxxx)(，不能说明xxx就很小。------------10分