2009级高等量子力学试卷

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1姓名学号专业…………………………………封装线…………………………………2009级《高等量子力学》课程试题题号一二三四五六七八九十十一十二十三总分分数合分人:复查人:(共3页,13道题,总分100分)第一部分:问答与填空(1~8题,每题5分,共40分)1.已知Lagrange函数为L=T—V,其方程为:0(1,2,3.......)iiLdLinqdtq其中为qi广义坐标。那么,广义动量为(2分):pi=广义力为(2分):fi=在广义坐标qi中的牛顿运动方程为(1分):。2.Bohr对应原理指出,在大量子数(2分)。其两条非常规假设是(2分):。。其实验证据是(1分):。3.粒子的全同原理表明(5分)。4.经典力学中Hamilton函数H(qi,pi)=T+V,广义坐标qi和广义动量pi(i=1,2,3…….n)为2n个独立变量,若H不显含时间t,则可用Poisson括号来描述正则方程:{,}iiqqH;{,}iippH.在量子力学中,正则量子化方程可以表示为(每题1+1.5分):iq=[].分数评卷人2ip=[].5.Feynman-Dirac提出的路径积分理论则是追踪(2分)。其中经典作用量S的表达式为(1分)S=,作为(1分)出现在(1分)。6.确定Dirac电子HamiltonˆH中的和算符需要满足的三个条件为:(i)(2分);(ii)(1分);(iii)(2分)。7.简述受激辐射原理(2分),为什么实验中难以观测到这一现象(2分)?举例说明其应用(1分)。8.为了克服Klein-Gordon方程遇到困难。Dirac经过深入研究认为,该困难是由于对阶微分造成的,由此提出了对等,并仅求阶微分的求解方法(2分,其它每空1分)。第二部分:证明与计算题(9~13题,共60分)【特别提示:解答内容可写在试卷背面,若写在答题纸上注意写明学号和姓名,解答时不必抄题,仅写明题号。】9.试计算下列粒子的透射系数T(本题10分):已知一个运动粒子质量为m,动能为E,遇到势垒V(x),在准经典近似下,试求该粒子隧穿势垒的透射系数T。其中V(x)的分布函数如图所示,可表示为:,(0)(),(0){FxxVxFxx10.试证明下列Hamilton算符关系(本题10分):在量子力学中,一维线性谐振子的Hamilton算符为:222ˆ1ˆˆ22pHmxm,由此引入产生算符分数评卷人|E|OV(x)x-Fx3ˆb和湮灭算符ˆb,且满足对易关系:ˆˆ[,]1bb,ˆb和ˆb分别表示为:2ˆˆˆ2mipbxm,2ˆˆˆ2mipbxm;且粒子数算符为ˆˆˆnbb,试证明:1ˆˆ2Hn.11.试证明并讨论Dirac自由电子算符的物理意义(本题15分):已知自由电子的Hamilton算符为:22ˆHicmccpmc提示:利用量子化Possion括号求dxdt等等。12.密度矩阵计算题(本题15分):若态函数为12||.||iCCe其中|C1|2+|C2|2=1,以及|C1|2=C1C1*,|C2|2=C2C2*,求密度矩阵的具体表达式。若与向量12aAa满足下列方程(1),试求的本征值。AA(1)13.试求证对于自由粒子而言路径积分与薛定谔方程的等价性(本题10分):已知,费曼振幅2211(,;,)Kxtxt是某个粒子在初态11(,)xt通过所有路径跃迁到末态22(,)xt的几率振幅。若在1t时刻的波函数为11(,)xt,经过一切可能路径到达2t时刻的波函数为22(,)xt,该过程的波函数关系可表达为:222211111(,)(,;,)(,)xtKxtxtxtdx对于自由粒子,其中费曼振幅表达式如下:12221212211212()()(,;,)exp2()ittimxxKxtxtmtt试求证路径积分与薛定谔方程的等价性。

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