2009级高等量子力学试卷

1姓名学号专业…………………………………封装线…………………………………2009级《高等量子力学》课程试题题号一二三四五六七八九十十一十二十三总分分数合分人：复查人：（共3页，13道题，总分100分）第一部分：问答与填空（1～8题，每题5分，共40分）1.已知Lagrange函数为L＝T—V，其方程为：0(1,2,3.......)iiLdLinqdtq其中为qi广义坐标。那么，广义动量为（2分）：pi=广义力为（2分）：fi=在广义坐标qi中的牛顿运动方程为（1分）：。2.Bohr对应原理指出，在大量子数（2分）。其两条非常规假设是（2分）：。。其实验证据是（1分）：。3.粒子的全同原理表明（5分）。4.经典力学中Hamilton函数H（qi，pi）＝T＋V，广义坐标qi和广义动量pi（i＝1，2，3…….n）为2n个独立变量，若H不显含时间t,则可用Poisson括号来描述正则方程：{,}iiqqH；{,}iippH.在量子力学中，正则量子化方程可以表示为（每题1+1.5分）：iq＝[].分数评卷人2ip＝[].5.Feynman-Dirac提出的路径积分理论则是追踪（2分）。其中经典作用量S的表达式为（1分）S=，作为（1分）出现在（1分）。6.确定Dirac电子HamiltonˆH中的和算符需要满足的三个条件为：（i）（2分）；（ii）（1分）；（iii）（2分）。7.简述受激辐射原理(2分)，为什么实验中难以观测到这一现象(2分)？举例说明其应用(1分)。8.为了克服Klein－Gordon方程遇到困难。Dirac经过深入研究认为，该困难是由于对阶微分造成的，由此提出了对等，并仅求阶微分的求解方法（2分，其它每空1分）。第二部分：证明与计算题（9～13题，共60分)【特别提示：解答内容可写在试卷背面，若写在答题纸上注意写明学号和姓名，解答时不必抄题，仅写明题号。】9．试计算下列粒子的透射系数T（本题10分）：已知一个运动粒子质量为m，动能为E，遇到势垒V（x），在准经典近似下，试求该粒子隧穿势垒的透射系数T。其中V（x）的分布函数如图所示，可表示为：,(0)(),(0){FxxVxFxx10．试证明下列Hamilton算符关系(本题10分):在量子力学中，一维线性谐振子的Hamilton算符为：222ˆ1ˆˆ22pHmxm，由此引入产生算符分数评卷人|E|OV(x)x-Fx3ˆb和湮灭算符ˆb，且满足对易关系：ˆˆ[,]1bb，ˆb和ˆb分别表示为：2ˆˆˆ2mipbxm，2ˆˆˆ2mipbxm；且粒子数算符为ˆˆˆnbb，试证明：1ˆˆ2Hn．11.试证明并讨论Dirac自由电子算符的物理意义(本题15分)：已知自由电子的Hamilton算符为：22ˆHicmccpmc提示：利用量子化Possion括号求dxdt等等。12.密度矩阵计算题(本题15分):若态函数为12||.||iCCe其中|C1|2＋|C2|2＝1，以及|C1|2＝C1C1*,|C2|2＝C2C2*,求密度矩阵的具体表达式。若与向量12aAa满足下列方程（1），试求的本征值。AA（1）13.试求证对于自由粒子而言路径积分与薛定谔方程的等价性(本题10分)：已知，费曼振幅2211(,;,)Kxtxt是某个粒子在初态11(,)xt通过所有路径跃迁到末态22(,)xt的几率振幅。若在1t时刻的波函数为11(,)xt，经过一切可能路径到达2t时刻的波函数为22(,)xt，该过程的波函数关系可表达为：222211111(,)(,;,)(,)xtKxtxtxtdx对于自由粒子，其中费曼振幅表达式如下：12221212211212()()(,;,)exp2()ittimxxKxtxtmtt试求证路径积分与薛定谔方程的等价性。