2012年上海高考试题(理数,word解析版)

第1页2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一．填空题1．计算：3-i=1+i（i为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i1+i(1+i)(1-i)2.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{xxA，}2|1||{xxB，则BA.【答案】3,21【解析】根据集合A210x，解得12x，由12,,13xx得到，所以3,21BA.【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数1sincos2)(　　　　　xxxf的值域是.【答案】23,25【解析】根据题目22sin212cossin)(xxxxf，因为12sin1x，所以23)(25xf.【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角第2页函数值表示）.【答案】2arctan【解析】设直线的倾斜角为，则2arctan,2tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.【答案】160【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C()160Txx.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nVVV21，则)(lim21nnVVV.【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim21nnVVV.【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(axexf（a为常数）.若)(xf在区间),1[上是增函数，则a的取值范围是.【答案】1,【解析】根据函数,(),xaxaxaexafxeexa看出当ax时函数增函数，而已知函数第3页)(xf在区间,1上为增函数，所以a的取值范围为：1,.【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到2212l，解得母线长2l，1,22rlr所以该圆锥的体积为：331231S3122hV圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f，若2)()(xfxg，则)1(g.【答案】1【解析】因为函数2)(xxfy为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(gffg所以，又1232)1()1(,3)1(fgf.(1)(1).ff【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(xfy为奇函数，所以有)()(xfxf这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6，若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f.第4页【答案】)6sin(1【解析】根据该直线过点)0,2(M，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(f.【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD中，3A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是.【答案】5,2【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2ADAB，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22ABCD设1515515151(,1)(),,-,-,(2,()sin).22224284423NxxBMCNCNxBMxMxx则第5页根据题意，有)83235,4821(),1,(xxAMxAN.所以83235)4821(xxxANAM2521x，所以25.AMAN642246105510ADCBMN【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(xfy的图象是折线段ABC，其中)0,0(A、)5,21(B、)0,1(C，函数)(xxfy（10x）的图象与x轴围成的图形的面积为.【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12xxfxxx从而得到22110,02()11010,12xxyxfxxxx所以围成的面积为45)1010(101212210dxxxxdxS，所以围成的图形的面积为45.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图第6页形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若cAD2，且aCDACBDAB2，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.【答案】13222cac【解析】据题aCDACBDAB2，也就是说，线段CDACBDAB与线段的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当ABDBC平面时，此时有最大值，此时最大值为：13222cac.【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（）A．3,2cbB．3,2cbC．1,2cbD．1,2cb【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点12i也是该方程的另一个根，所以bii22121，即2b，cii3)21)(21(，故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa代入得到222abc，由余弦定理的推理得222cos02abcCab，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角第7页形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.（lbylfx）17．设443211010xxxx，5510x，随机变量1取值54321xxxxx、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221xxxxxxxxxx、、、、的概率也均为2.0，若记21DD、分别为21、的方差，则（）A．21DDB．21DDC．21DDD．1D与2D的大小关系与4321xxxx、、、的取值有关【答案】A【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5xxxxxx，2334455112211,522222xxxxxxxxxxxx且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D.故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设25sin1nnan，nnaaaS21，在10021,,,SSS中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.第8页三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.……3分因为PD=32)22(222，CD=2，所以三角形PCD的面积为3232221.……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，)1,2,1(AE，)0,22,0(BC.……8分设AE与BC的夹角为，则222224||||cosBCAEBCAE，=4.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角……8分在AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2知AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=4.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(xx