2010-2011线性代数试卷B卷

一、填空题（5×4=20分）1、设1*,AA分别为三阶方阵A的伴随矩阵和逆矩阵，且A的三个特征值分别为1,2,2，则1*AA2、设A为四阶方阵，且2||A，把A按列分块为],,,[4321AAAAA,其中)4,3,2,1(jAj为A的第j列，令],54,43,32[4433221AAAAAAAB，则B3、设________,2)(,25400021121bArbA则4、设TTTkkk)1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321，若3R中任何一个向量都可由},,{321线性表示，则k满足条件5、若44A的4个列向量},,,{4321满足条件0224321则方程1AX的一个解为_____________________二、选择题（8×3=24分）请将每题正确答案的序号填入下列对应表格中:题号12345678成绩答案1、设n阶行列式ijaD,ijA是ija的代数余子式,则)(321kknkAa(A)D(B)0(C)D1(D)难以确定其值2、设A为n阶方阵，且IA2，则（）(A)A的行列式为1(B)A的特征值都是1(C)A的秩为n(D)A一定是对称矩阵3、下列向量集合中哪个是向量空间（）。(A)},02|],,[{2121RxnxxxxxxVinn(B)},0|],,[{32121RxxxxxxxxVinn(C)}|],,[{21为整数iTnxxxxV(D)},1|],,[{2121RxxxxxxxVinTn4、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换所得到的矩阵，则有（）（A）BA（B）BA（C）若0A，则一定有0B（D）若0A，则一定有0B5、n阶矩阵A可以对角化的充要条件是()（A）A有n个不全相同的特征值；（B）TA有n个全不相同的特征值；（C）A有n个不相同的特征向量；（D）A的任一特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相同.6、设A是n阶方阵，其秩nr，则在A的n个行向量中（）（A）必有r个行向量线性无关；（B）任意r个行向量线性无关；（C）任意r个行向量都构成极大无关向量组；（D）任意一个行向量都可以由其余1r个行向量线性表示。7、设BA,为n阶方阵,A相似于B，则有（）（A）)()(BIAI；（B）A和B有相同的特征向量；（C）A和B相似于同一对角阵；（D）对任意常数t,)()(BItAIt。8、设BA,为n阶方阵，则下列结论成立的是（）（A）0||0||AAB或0||B；（B）OAA0||；（C）OAOAB且OB；（D）1||AIA。三、判断题(5×2=10分)请将每题正确答案填入下列对应表格中:题号12345成绩答案1、若一个n阶行列式D中为零的元素超过nn2个，则0D。（）2、任何一个向量组都有极大无关组。（）3、如果n阶方阵A的n个特征值全为0，则A一定为零矩阵。（）4、方阵A的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量。（）5、设CBA,,为n阶方阵，若IABC，则111ABC。（）四、计算与证明题(46分)1、（6分）计算行列式yyxxD1111111111111111。2、（8分）设3阶方阵BA,满足关系式BAABAA61，且,710004100031A求.B3、（6分）设IA23,证明IA2可逆,并求1)2(IA。4、（8分）设,]0231[1T，，，,]31407[2T，，，,]1012[3T，，，,]1,412[,]2,615[54TT，，，，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，且把其它的向量用极大无关组线性表示。5、（8分）求下列方程组的通解(用基础解系表示)174952431132542143214321xxxxxxxxxxx6、（10分）已知111是矩阵2135212baA的一个特征向量，(1)试确定参数ba,以及特征向量所对应的特征值；(2)问矩阵A能否相似于对角阵，说明理由。一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设8030010000100001A，则A＝2.2.A为n阶方阵,TAA=E且EAA则,00.3．设方阵12243,311tAB为三阶非零矩阵，且AB=O，则t-3.4.设向量组m,,,21线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m的秩为m+1.5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=____y1A__．６．设3R的两组基为T11,1,1a，21,0,1a，31,0,1a；T1(1,2,1,),232,3,4,3,4,3，则由基123,,aaa到基123,,的过渡矩阵P=101010432．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设nD为n阶行列式，则nD＝0的必要条件是[D].(A)nD中有两行元素对应成比例；(B)nD中各行元素之和为零；(C)nD中有一行元素全为零；(D)以nD为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，线性相关，则[C].(A)必可由，，线性表示.(B)必可由，，线性表示.(C)必可由，，线性表示.(D)必可由，，线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[B].(A)100010000；(B)000010001；(C)000010001－；(D)100000001－．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[D]．（A）α1，α2，α3-α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵43A有一个3阶子式不为0，则[C].（A）Ｒ(A)=1；（B）Ｒ(A)=2；（C）Ｒ(A)=3；（D）Ｒ(A)=4．６．实二次型f＝xAx为正定的充分必要条件是[A]．(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)|A|0；(D)R(A)=n.三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求1122331001100110011bbbDbbb的值解：1112222333331001001000100100101.011001001001100110001bbbbbbDbbbbbb２.求向量组)4,1,1,1(1,)5,3,1,2(2,)2,3,1,1(3,)6,5,1,3(4的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组12,，12332，1242.３.设A、P均为3阶矩阵，且T100010,000PAP=若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．解：由于Q=(α1+α2,α2,α3)=(α1,α2,α3)100100110110,001001P于是QTAQ=TT100100110100110110010110001001001001PAPPAP110100100210010010110110.0010000010004．设A是n阶实对称矩阵，OAA22，若)0()(nkkRA，求EA3.解:由OAA22知,A的特征值-2或0,又)0()(nkkRA,且A是n阶实对称矩阵,则22~00A(k个-2)，故EA33nk．5.设矩阵22082006aA=相似于对角矩阵，求a.解：由|A-λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3=-2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即42021084~00000000aa，显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa，，，(1)若4321,,,aaaa两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若baa31,baa42(b0)，且已知方程的两个解T1(1,1,1),T2(1,1,1)，试给出方程组的通解．解：（1）0))()()()()((111134241423131234244332333222231211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa，()()RRAbA，无解．（2）2)(AR，3n，故通解21121()01,()21kkkxξξξR．得分五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122byzxzaxy）0a经正交变换xyzQ，化成12222，求a、b的值及正交矩阵Q.解：设0120210aabbA，由0,20AEAE知1,2ba．当1时，111111111~000111000AE，t)0,1,1(1，T)2,1,1(2当2时，1012~011000AET3(1,1,1).故正交阵11126311126321063Q.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．证：依题意得Aα=λα，ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT=λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ=λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交．一、分数评卷人填空题（每题2分,共20分）1．四阶行列式中的一项11233442aaaa应取的符号是_______。2．排列3712456的逆序数是_________。3．设A是4阶方阵，且2A，则2A________。4．设12113251563A，且A的秩等于2，则________。5.n元齐次线性方程组0Ax只有零解的充分必要条件是________。6．三阶方阵A的特征值为1,1,2，则A的行列式等于____________。7．线性方程组AXb有解的充要条件是_________________。8．设向量12(2,1,1),(3,5,6)TTaa，则12[,]aa=____________。9．设V为非空的n维向量的集合，满足，称集合V为向量空间。10．解方程211123049xx，则x。二、分数评卷人判断题（每题2分