2010~2014年高考真题备选题库-第6章第3节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

2010~2014年高考真题备选题库第6章不等式、推理与证明第3节二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1.(2014福建，5分)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元解析：选C设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为4xm，依题意，得y＝20×4＋102x＋2×4x＝80＋20x＋4x≥80＋20×2x·4x＝160当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元．故选C.2．(2014重庆，5分)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43解析：选D因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且3a＋4b0，ab0，即a0，b0，所以4a＋3b＝1(a0，b0)，a＋b＝(a＋b)·4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3a4时取等号，选D.3．(2014浙江，5分)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．解析：由a＋b＋c＝0得，a＝－b－c，则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2)，又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2，解得－63≤a≤63，故a的最大值为63.答案：634．(2014湖北，5分)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析：(1)F＝76000v＋20×6.05v＋18≤760002121＋18＝1900，当且仅当v＝11时等号成立．(2)F＝76000v＋20×5v＋18≤760002100＋18＝2000，当且仅当v＝10时等号成立，2000－1900＝100.答案：19001005．（2013山东，5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－13.答案：C6．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝|－2|2＝2.答案：27．（2013北京，5分）设D为不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想．作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.答案：2558．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－3解析：本题主要考查线性规划的相关知识，意在考查考生的基本运算能力与数形化为y＝23x结合思想的应用．由约束条件作出可行域如图中阴影区域．将z＝2x－3y－z3，作出直线y＝23x并平移使之经过可行域，易知直线经过点C(3,4)时，z取得最小值，故zmin＝2×3－3×4＝－6.答案：B9．（2013福建，5分）若变量x，y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为()A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0解析：本题主要考查线性规划问题中求目标函数的最值，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力．画出可行域(如图中阴影部分)，由图像可得，当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2，故选B.答案：B10．（2013陕西，5分）若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．2解析：本题主要考查分段函数的图像和性质以及求解线性规划最优解的思维方法．作出函数y＝|x|＝xx≥0－xx＜0和y＝2围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A(－2，2)时，2x－y取得最小值－6.答案：A11．（2013湖北，5分）某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：本题主要考查用二元一次不等式组解决实际问题的能力，考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力．设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则36x＋60y≥900，y－x≤7，y＋x≤21，x，y∈N，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800.答案：C12.（2013四川，5分）若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．48B．30C．24D．16解析：本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.答案：C13．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设x，y满足约束条件1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z＝2x－y的最大值为________．解析：本题主要考查简单的线性规划问题．作出可行域如图中阴影部分所示，将目标函数z＝2x－y整理为y＝2x－z，将y＝2x向下平移至过点(3,3)时，z取得最大值，为zmax＝2×3－3＝3.答案：314．（2012山东，5分）设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－32，6]B．[－32，－1]C．[－1,6]D．[－6，32]解析：不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B(12，3)处取得，即最大值为6，最小值为－32.答案：A15．（2012福建，5分）若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2解析：可行域如图阴影所示，由y＝2x，x＋y－3＝0得交点A(1,2)，当直线x＝m经过点A(1,2)时，m取到最大值为1.答案：B16．（2012辽宁，5分）设变量x，y满足x－y≤10，0≤x＋y≤20，0≤y≤15，则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45D．55解析：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－23x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.答案：D17．（2012天津，5分）设变量x，y满足约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，x－1≤0，则目标函数z＝3x－2y的最小值为()A．－5B．－4C．－2D．3解析：不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l0：3x－2y＝0，结合图形可知，当直线3x－2y＝z平移到过点(0,2)时，z＝3x－2y的值最小，最小值为－4.答案：B18．（2012湖北，5分）若变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3，则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域(如图)，再平移目标函数得最小值．当目标函数经过点(1,0)时，z取得最小值2.答案：219．（2011广东，5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2y≤2x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA的最大值为()A．3B．4C．32D．42解析：画出区域D如图所示，而z＝OM·OA＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，令l0：y＝－2x，平移直线l0，相应直线过点(2，2)时，截距z有最大值，故zmax＝2×2＋2＝4.答案：B20．（2011湖南，5分）设m＞1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y＝－15x＋z5，显然只有y＝－15x＋z5在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1得A(11＋m，m1＋m)，代入目标函数，即11＋m＋5m1＋m＝4，解得m＝3.答案：321．（2011陕西，5分）如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．解析：设目标函数为z＝2x－y，借助平移，显然点(1,1)满足题意，则2x－y的最小值为1.答案：122．（2010北京，5分）若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.解析：由题意可得|4m－9＋1|5＝42m＋3＜3，解得m＝－3.答案：－323．（2010安徽，5分）设x，y满足约束条件2x＋y－6≥0，x＋2y－6≤0，y≥0，则目标函数z＝x＋y的最大值是()A．3B．4C．6D．8解析：不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分．当直线z＝x＋y过直线x＋2y－6＝0与x轴的交点(6,0)时，目标函数z＝x＋y取得最大值6.答案：C