2012年中考数学专题练习十二次函数

1★二次函数知识点汇总★1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy的图像与a的符号关系.①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；③0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：3①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数y的值为0时的情况．(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根．(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根14.二次函数的应用：4(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．专题十二次函数（时间：90分钟满分：100分)一、选择题（每小题3分，共24分）1．（2011年北京）抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为()A．(3，－4)B．(3，4)C．(－3，－4)D．（－3，4)2．（2011年株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米3．（2011年呼和浩特）已知一元二次方程x2＋bx－3＝0的一根为－3，在二次函数y＝x2＋bx－3的图象上有三点（－45，y1）、（－54，y2）、（－16，y3），y1、y2、y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y1y3y24．（2011年重庆）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()A．a0B．b0C．c0D．a＋b＋c05．（2011年宿迁）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a0B．当x1时，y随x的增大而增大C．c0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根6．（2011年威海）二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y0时，自变量x的取值范围是()A．－1x3B．x－1C．x3D．x－3或x3[来源:学科网ZXXK]7．（2011年铜仁）已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k4B．k≤4C．k4且k≠3D．k≤4且k≠38．（2011年桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是()A．y＝－(x＋1)2＋2B．y＝－(x－1)2＋4C．y＝－(x－1)2＋2D．y＝－(x＋1)2＋4二、填空题（每小题3分，共18分）59．（2011年德州）将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．10．（2011年河南）点A(2，y1)、B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1_______y2（填“”“”或“＝”）．11．（2011年枣庄）抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是x＝12；④在对称轴左侧，y随x的增大而增大．12．(2011年湖州)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是______．13．（2011年宜宾）如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是_______．14．（2011年日照）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c0．其中正确的命题是______．(只要求填写正确命题的序号)三、解答题（共58分）15．（10分）（2011年哈尔滨）手工课时，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？______．（参考公式：当x＝－2ba时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有最小（大）值244acba）16．（12分）（2011年陕西）二次函数y＝23x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（－1，m），B(n，n)．(1)求点A、B的坐标；(2)在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．①这样的点C有几个？②能否将抛物线y＝23x2－13x平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．617．（12分）（2011年北京市）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．(1)求点A的坐标；(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n，0)是x轴上的一个动点．在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3（m0）的图象于点N．若只有当－2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．18．（12分）（2011年宜宾）已知抛物线的顶点是C(0，a)（a0，a为常数），并经过点(2a，2a)，点D(0，2a)为一定点．(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD＝PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点．若DA＝2DB，且S△ABD＝42，求a的值．719．（12分）（2011年杭州）设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根