2012年中考数学复习训练25梯形

2012年中考数学复习训练25梯形一、选择题1．(2011·武汉)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是()A．40°B．45°C．50°D．60°答案C解析∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC＝25°.∵CD＝CB，∴∠BDC＝∠DBC＝25°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝50°.∵AB∥BC，AD＝CB，∴梯形ABCD是等腰梯形．∴∠BAD＝∠ABC＝50°.2．(2011·烟台)如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是()A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案C解析如图，连接AC、BD，因为梯形ABCD等腰梯形，所以AC＝BD.由三角形中位线定理，得EF綊12AC，GH綊12AC，所以EF綊GH，所以四边形EFGH是平行四边形．又FG＝12BD，EF＝12AC，所以EF＝FG，故▱EFGH是菱形．3．(2011·烟台)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是()A．8B．9C．10D．12答案B解析连接AE并延长交DC于H，易证△ABE≌△HDE，AB＝DH，∴CH＝CD－DH＝CD－AB＝6.又∵点E、F、G分别为DB、AC、DC的中点，∴EF＝12CH＝12×6＝3，EG＋FG＝12BC＋12AD＝12(BC＋AD)＝12×12＝6，∴△EFG的周长＝EF＋EG＋FG＝3＋6＝9.4．(2011·绵阳)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC,AB＝8cm，则△COD的面积为()A.433cm2B.43cm2C.233cm2D.23cm2答案A解析分别画CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ABD＝30°，AB＝8，∴BC＝4，BD＝AC＝43，S△ABC＝12AC·BC＝12×43×4＝83.在Rt△BCO中，∠CBO＝30°，CB＝4，则OC＝433，OB＝833，S△BOC＝12BC·OC＝12×4×433＝833，∴S△AOB＝83－833＝1633.∵AB∥CD，则△DCO∽△BAO，S△CODS△AOB＝OCOA2＝14，S△COD＝14×1633＝433.5．(2011·福州)梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC＋∠BCD＝90°，以AD、AB、BC为斜边均向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1＋S3＝4S2，则CD＝()A．2.5ABB．3ABC．3.5ABD．4AB答案B解析过B画BE∥AD交CD于E，则四边形ABED是平行四边形，AD＝BE，∠ADC＝BEC，∴∠BEC＋∠BCD＝∠ADC＋∠BCD＝90°，∴∠EBC＝90°，BE2＋BC2＝EC2.而S1＝14AD2＝14BE2，S2＝14AB2＝14DE2，S3＝14BC2.又S1＋S3＝4S2，得14BE2＋14BC2＝414DE2，BE2＋BC2＝4DE2，∴EC2＝4DE2，EC＝2DE，CD＝DE＋EC＝3DE＝3AB.二、填空题6．(2011·福州)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝________度．答案270解析因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，而∠C＝90°，所以∠A＋∠B＋∠C＝270°.7．(2011·桂林)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD,梯形ABCD的周长为26，DE＝4，则△BEC的周长为_________．答案18解析由AB∥DC，BE∥AD，得四边形ABED是平行四边形，AB＝DE＝4.又因为梯形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝26，可知AD＋BC＋EC＝18，所以△BEC的周长＝BE＋EC＋BC＝AD＋EC＋BC＝18.8．(2011·邵阳)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2cm，则上底DC的长是________cm.答案2解∵∠CAB＝90°－60°＝30°，又∵在等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠B＝60°，∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°.又∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝30°＝∠DAC.∴CD＝AD＝BC＝2cm.9．(2011·连云港)一等腰梯形两组对边中点相连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______．答案22解析如图，易证四边形EGFH是菱形，在Rt△EOG中，EG2＝EO2＋GO2＝12EF2＋12GH2＝14()EF2＋GH2＝14×8＝2，所以EG＝2，又EG＝12AC，所以AC＝2EG＝22.10．(2011·襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝________秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．答案2或143解析当四边形PDQE是平行四边形时，PD＝QE，而PD＝6－t，QE＝8－2t，所以6－t＝8－2t，t＝2；当四边形PDEQ是平行四边形时，PD＝EQ，而PD＝6－t，EQ＝2t－8，所以6－t＝2t－8,3t＝14，t＝143；综上，t＝2或t＝143.三、解答题11．(2011·南充)如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF，连接DE、AF.求证：DE＝AF.解证明：∵BE＝FC，∴BE＋EF＝FC＋EF，即BF＝CE.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠B＝∠C.在△DCE和△ABF中，DC＝AB，∠C＝∠B，CE＝BF，∴△DCE≌△ABF(SAS)．∴DE＝AF.12．(2011·菏泽)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4,E为AB中点，EF∥DC交BC于点F,求EF的长．解过点A作AG∥DC交BC于G，∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴GC＝AD，∴BG＝BC－AD＝4－1＝3.在Rt△ABG中，∠AGB＝∠C＝45°，AB＝BG.∴AG＝AB2＋BG2＝2BG2＝2×32＝32.∵EF∥DC∥AG，E是AB中点，∴F是BG中点，∴EF＝12AG＝322.13．(2010·重庆)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA.(1)若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；(2)求证：∠MPB＝90°－12∠FCM.解证明：(1)如图，连接MD，∵点E是DC的中点，EM⊥DC，∴MD＝MC.又∵AD＝CF，MF＝MA，∴△AMD≌△FMC，∴∠MAD＝∠MFC＝120°.∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90，°∴∠MAB＝30°.在Rt△AMB中，∠MAB＝30°，∴BM＝12AM，即AM＝2BM.(2)∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM＝∠FCM，∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠CMD.∴∠CMD＝∠FCM.∵MD＝MC，ME⊥DC，∴∠DME＝∠CME＝12∠CMD，∴∠CME＝12∠FCM，∴在Rt△MBP中，∠MPB＝90°－∠CME＝90°－12∠FCM.14．(2011·南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝600，M是BC的中点．(1)求证：△MDC是等边三角形；(2)将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E，MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．解(1)证明：过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，∵∠C＝∠B＝60°，∴CP＝BQ＝12AB，CP＋BQ＝AB.又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，AD＝AB，故BC＝2AD.由已知，点M是BC的中点，∴BM＝CM＝AD＝AB＝CD,∴在△MDC中，CM＝CD,∠C＝60°，故△MDC是等边三角形．(2)解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：连接AM，由(1)得▱ABMD是菱形，△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形，∴∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°，∴∠BME＝∠AMF.在△BME与△AMF中，BM＝AM,∠EBM＝∠FAM＝60°，∠BME＝∠AMF，∴△BME≌△AMF(ASA)．∴BE＝AF,ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB.∵∠EMF＝∠DMC＝60°，∴△EMF是等边三角形，EF＝MF.∵MF的最小值为点M到AD的距离2·sin60°＝3，∴EF的最小值是3，∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF，∴△AEF的周长的最小值为2＋3.15．(2011·杭州)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F.(1)求证：△FOE≌△DOC；(2)求sin∠OEF的值；(3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求AB＋CDGH的值．解(1)证明：∵E、F分别为线段OA、OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF.∵AB＝2CD，∴EF＝CD.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌△DOC.(2)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝2BC2＋BC2＝5BC，sin∠CAB＝BCAC＝55.∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴sin∠OEF＝sin∠CAB＝55.(3)∵△FOE≌△DOC，∴OE＝OC.∵AE＝OE，∴AE＝OE＝OC，∴CECA＝23.∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴EHAB＝CECA＝23，∴EH＝23AB＝43CD.∵EF＝CD，∴EH＝43EF，FH＝13EF＝13CD.同理，GE＝13CD，∴GH＝53CD，∴AB＋CDGH＝2CD＋CD53CD＝95.