2012年中考数学复习考点---方程与函数相结合型综合问题

中考数学专题--方程与函数相结合型综合问题一、选择题1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是()A．3B．2C．1D．0答案B解析令y＝0，得x2－1＝0，x＝1或－1，抛物线交x轴于点(1,0)，(－1,0)．2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac0；(2)c1；(3)2a－b0；(4)a＋b＋c0.你认为其中错误．．的有()A．2个B．3个C．4个D．1个答案D解析由抛物线与x轴交于两点，可知关于x的二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则b2－4ac0；又抛物线的对标轴直线x＝－b2a－1，而a0，所以b2a,2a－b0；当x＝1时，函数值y＝a＋b＋c0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y轴交于点(0，c)，在点(0,1)下方，c1，信息(2)错误．3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象有可能是()答案C解析由x1＋x2＝4和x1x2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x2＋bx－3＝0的一根为－3，在二次函数y＝x2＋bx－3的图象上有三点－45，y1、－54，y2、16，y3，y1、y2、y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y1y3y2答案A解析当方程的一根为x＝－3时，(－3)2－3b－3＝0，b＝2，所以y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴对称轴x＝－1，∴x＝－54与x＝－34时y值相同，∵在x＝－1右侧，y随x增大而增大，∴y1y2y3，选A.5．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是()A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根答案D解析画直线y＝－2，与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于两点，且在第四象限，故方程ax2＋bx＋c＝－2，有两个不等的正数根．二、填空题6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________．答案形如y＝kx＋b(k0，b0)或y＝ax2＋bx＋c(a0，b0)7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为(0,3)，B点的坐标为(6,5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是__________．答案10解析如图，画点A关于x轴的对称点A1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC、BC距离之和的最小值为线段A1B，画BD⊥y轴于D，在Rt△A1BD中，A1D＝3＋5＝8，BD＝6，所以A1B＝62＋82＝10.8．(2010·绥化)已知关于x的分式方程a＋2x＋1＝1的解是非正数，则a的取值范围是____________．答案a≤－1且a≠－2解析去分母，a＋2＝x＋1，∵x≠－1，a≠－2，x＝a＋1≤0，∴a≤－1且a≠－2.9．(2008·西宁)如图所示的是函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象，则方程组y＝kx＋b，y＝mx＋n的解关于原点对称的点的坐标是___________．答案(－3，－4)解析两直线y＝kx＋b与y＝mx＋n交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．10．如图，点D的纵坐标等于______________；点A的横坐标是方程______________的解；大于点B的横坐标是不等式______________的解集；点C的坐标是方程组______________的解；小于点C的横坐标是不等式______________的解集．答案b；k1x＋b1＝0；kx＋b＜0；y＝k1x＋b1，y＝kx＋b；kx＋b＞k1x＋b1三、解答题11．如果一个二次函数的图象经过点A(6,10)，与x轴交于B、C两点，点B、C的横坐标为x1、x2，且x1＋x2＝6，x1·x2＝5.求这个二次函数的解析式．解∵这个二次函数的图象与x轴交于B(x1,0)、C(x2,0)两点，∴这个二次函数的解析式是y＝a(x－x1)(x－x2)，即y＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]．∵x1＋x2＝6，x1·x2＝5，∴y＝a(x2－6x＋5)．∵这个二次函数的图象经过点A(6,10)，∴a×(62－6×6＋5)＝10，解之，得a＝2，∴所求二次函数的解析式为：y＝2x2－12x＋10.12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(－1,0)，点B在抛物线y＝ax2＋ax－2上．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；(4)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．解(1)A(0,2)，B(－3,1)．(2)y＝12x2＋12x－2.(3)如图①，可求得抛物线的顶点D－12，－178.设直线BD的关系式为y＝kx＋b，将点B、D的坐标代入，求得k＝－54，b＝－114，∴BD的关系式为y＝－54x－114.设直线BD和x轴交点为E，则点E－115，0，CE＝65.∴△DBC的面积为12×65×1＋178＝158.(4)如图②，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C′作C′P⊥y轴于点P.在Rt△AB′M与Rt△BAN中，∵AB＝AB′，∠AB′M＝∠BAN＝90°－∠B′AM，∴Rt△AB′M≌Rt△BAN.∴B′M＝AN＝1，AM＝BN＝3，∴B′(1，－1)．同理：△AC′P≌△CAO，C′P＝OA＝2，AP＝OC＝1，∴C′(2,1)．将点B′、C′的坐标代入y＝12x2＋12x－2，可知点B′、C′在抛物线上(事实上，点P与点N重合)．13．已知抛物线y＝(9－m2)x2－2(m－3)x＋3m的顶点D在双曲线y＝－5x上，直线y＝kx＋c过点D和点C(a，b)，且y随x的增大而减小，a、b满足方程组a2－b2－3＝0，2a2－5ab＋2b2＝0.求直线y＝kx＋c的解析式．解∵y＝(9－m2)x2－2(m－3)x＋3m，∴抛物线的顶点D的坐标为－1m＋3，3m2＋10m－3m＋3.∵点D在双曲线y＝－5x上，∴－1m＋3·3m2＋10m－3m＋3＝－5，整理得：m2＋10m＋24＝0，解之，得m1＝－4，m2＝－6，∴D点的坐标为D1(1，－5)或D213，－15.解方程组a2－b2－3＝0，2a2－5ab＋2b2＝0，得a1＝－2，b1＝－1，，a2＝2，b2＝1，∴C点的坐标为C1(－2，－1)或C2(2,1)．∵直线y＝kx＋c经过D、C两点，且y随x的增大而减小，∴点C2(2,1)不合题意，舍去．∴直线x1y＝kx＋c经过点D1(1，－5)和点C1(－2，－1)或点D213，－15和C1(－2，－1)．∴k＋c＝－5，－2k＋c＝－1，或13k＋c＝－15，－2k＋c＝－1，解之，得k＝－43，c＝－113，或k＝－6，c＝－13.∴这条直线的解析式为y＝－43x－113或y＝－6x－13.