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由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费考点跟踪训练14二次函数及其图象一、选择题1．(2011·温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值答案C解析当0≤x≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.2．(2011·烟台)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是()A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h答案A解析两条抛物线的顶点分别为(n，k)，(m，h)因为有相同的对称轴，且点(n，k)在点(m，h)上方，所以m＝n，kh.3．(2011·宿迁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根答案D解析抛物线开口向下，a0；对称轴是直线x＝1，当x≥1时，y随x的增大而减小；由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费抛物线与y轴交点(0，c)在x轴上方，c0；所以A、B、C为错误的，设方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，则x1＝－1，－1＋x22＝1，x2＝3,3是方程的一个根．4．(2011·泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353则当x＝1时，y的值为A．5B．－3C．－13D．－27答案D解析观察上表，当x＝－4或－2时，y＝3，抛物线的对称轴为直线x＝－4－22＝－3.当x＝1时，－7＋12＝－3，可知当x＝－7或1时，y＝－27.5．(2010·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac0；②abc0；③8a＋c0；④9a＋3b＋c0.其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案D解析由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2－4ac0，故①正确．抛物线开口向上，得a0；又对称轴为直线x＝－b2a＝1，b＝－2a0.抛物线交y轴于负半轴，得c0，所以abc0，②正确．根据图象，可知当x＝－2时，y0，即4a－2b＋c0，把b＝－2a代入，得4a－2(－2a)＋c＝8a＋c0，故③正确．当x＝－1时，y0，所以x＝3时，也有y0，即9a＋3b＋c0，故④正确．二、填空题6．(2011·济宁)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝(x－h)2＋k的形式，则y＝________.答案y＝(x－2)2＋1解析y＝x2－4x＋5＝(x2－4x＋4)＋1＝(x－2)2＋1.7．(2011·舟山)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______.答案x≥12解析抛物线经过点(－1,0)，(1，－2)，得1－b＋c＝0，1＋b＋c＝－2，解之，得c＝－2，b＝－1.所以由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费y＝x2－x－2，其对称轴直线x＝－－12×1＝12，当x≥12，y随x的增大而增大．8．(2011·湖州)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b的值是________．答案如－12(答案不唯一)解析采用特殊值法，如设抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)，则4＋2b＋c＝0，c＝－3.得b＝－12.9．(2011·日照)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)答案①③解析抛物线过点(1,0)，则有a＋b＋c＝0；对称轴为直线x＝－1，则－3＋12＝－1，另一交点为(－3,0)，①③正确；对称轴线x＝－b2a＝－1，b＝2a；又a0，c0，则a－2b＋c＝a－4a＋c＝－3a＋c0，所以②、④错误．10．(2011·茂名)给出下列命题：命题1：点(1,1)是双曲线y＝1x与抛物线y＝x2的一个交点．命题2：点(1,2)是双曲线y＝2x与抛物线y＝2x2的一个交点．命题3：点(1,3)是双曲线y＝3x与抛物线y＝3x2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：________________________________.答案点(1，n)是双曲线y＝nx与抛物线y＝nx2的一个交点解析解方程组y＝nx，y＝nx2，得x＝1，y＝n，所以点(1，n)是双曲线y＝nx与抛物线y＝nx2的一个交点．三、解答题11．(2011·东莞)已知抛物线y＝12x2＋x＋c与x轴没有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费解(1)∵抛物线与x轴没有交点，则方程12x2＋x＋c＝0中，△＜0，即1－2c＜0，解得c＞12.(2)∵c＞120，∴直线y＝cx＋1随x的增大而增大．∵b＝1，∴直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限．12．(2011·南京)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．解(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象经过y轴上的一个定点(0,1)．(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝(－6)2－4m＝0，m＝9.综上，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.13．(2011·江津)已知双曲线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3，n)三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．解(1)把点A(2,3)代入y＝kx得：k＝6.∴反比例函数的解析式为：y＝6x.把点B(m,2)、C(－3，n)分别代入y＝6x得：m＝3，n＝－2.把A(2,3)、B(3,2)、C(－3，－2)分别代入y＝ax2＋bx＋c得：4a＋2b＋c＝3，9a＋3b＋c＝2，9a－3b＋c＝－2，解之得a＝－13，b＝23，c＝3.∴抛物线的解析式为：y＝－13x2＋23x＋3.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费(2)描点画图(如图)：S△ABC＝12(1＋6)×5－12×1×1－12×6×4＝352－12－12＝5.14．(2011·黄冈)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100()x－602＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－99100()100－x2＋2945()100－x＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解(1)当x＝60时，P最大值为41，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x＝50时，P最大值为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y，当地投资额为x，则外地投资额为100－x，所以y＝P＋Q＝－1100()x－602＋41＋－99100x2＋2945x＋160＝－x2＋60x＋165＝－()x－302＋1065，表明x＝30时，y最大值为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3495(万元)，故五年获利最大值为80＋3495－50×2＝3475(万元)．因此(3)有极大的实施价值．15．(2011·杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负．实数k，当xm时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．解(1)当k＝1时，y＝x2＋3x＋1；当k＝0时，y＝x＋1，图略．(2)对任意实数k，函数的图象都经过点(－2，－1)和点(0,1)．证明：把x＝－2代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y＝－1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象经过点(－2，－1)；把x＝0代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y＝1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象经过点(0,1)．(3)当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为x＝－2k＋12k＝－1－12k，当负数k所取的值非常小时，正数－12k靠近0，所以x＝－1－12k靠近－1，所以只要m的值不大于－1即可．