2012年中考数学复习考点跟踪训练24矩形

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费考点跟踪训练24矩形、菱形和正方形一、选择题1．(2011·滨州)如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析一定能拼成的是邻边不等的矩形、等腰梯形、有一个角为锐角的菱形．2．(2011·衢州)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FAG＝110°，则∠FBD＝()A．35°B．40°C．55°D．70°答案C解析在△ABC中，AB＝AC，∠FAG＝110°，∴∠ABC＝180°－110°2＝35°.又∵∠DBC＝90°，∴∠FBD＝180°－∠ABC－∠DBC＝55°.3．(2011·绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分答案D解析矩形的对角线相等且互相平分．4．(2011·兰州)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为()A．16B．17C．18D．19答案B由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费解析如图，S1占三角形面积的12，∴S1＝12×6×6×12＝9；S2占三角形面积的49，∴S2＝12×6×6×49＝8；所以S1＋S2＝9＋8＝17.5．(2011·重庆)如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析经过折叠，有△ADE≌△AFE，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG；设BG＝FG＝x，则CG＝6－x，EG＝2＋x，EC＝4，由勾股定理，得(2＋x)2＝42＋(6－x)2，解之，得x＝3，所以CG＝BG＝3；画FH⊥GC于H，△GFH∽△GEC，有FHEC＝GFGE＝GHGC，FH4＝35＝GH3，∴FH＝125，GH＝95.在Rt△CFH中，tan∠FCG＝FHCH＝1253－95＝2，在Rt△ABG中，tan∠AGB＝ABBG＝2，∴∠FCG＝∠AGB，∴AG∥CF；S△FGC＝12GC·FH＝12×3×125＝185≠3；故结论①、②、③正确．二、填空题6．(2011·黄冈)如图：矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为________．答案28△ABC中，AC＝10，BC＝8，所以AB＝6，故五个小矩形的周长之和等于矩形ABCD的周长28.7．(2011·南京)如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为________cm2.答案23解析在Rt△ADF中，AD＝2，AE＝12AB＝1，所以DE＝3，S菱形ABCD＝AB·DE＝2×3由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费＝23cm2.8．(2011·绵阳)如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________cm.新课标第一网答案25解析因为折叠，设DF＝D′F＝x，则FC＝8－x，D′C＝AD＝4，在Rt△D′FC中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，解之，得x＝3.连接AC交EF于点O，由折叠得∠FOC＝90°，在Rt△FCO中，CO＝12AC＝12×82＋42＝25，所以EO＝52－252＝5，EF＝2EO＝25.9．(2011·广东)如图1，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)；以此下去……，则正方形A4B4C4D4的面积为______________．答案625解析因为正方形ABCD的面积为1，所以AB＝1，AB1＝2，正方形A1B1C1D1的面积等于12＋22＝5；同理，正方形A2B2C2D2的面积等于(5)2＋(25)2＝25；正方形A3B3C3D3的面积等于52＋102＝125；正方形A4B4C4D4的面积等于(55)2＋(105)2＝625.10．(2011·德州)长为1，宽为a的矩形纸片(12a1)，如图1那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的矩形如图2那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为____________．答案35或34xkb1.com解析由题意，可知当12＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1－a，所以第二次操作时正方形的边长为1－a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1－a,2a－1.此时，分两种情况：①如果1－a＞2a－1，即a＜23，那么第三次操作时正方形的边长为2a－1.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费则2a－1＝(1－a)－(2a－1)，解得a＝35；②如果1－a＜2a－1，即a＞23，那么第三次操作时正方形的边长为1－a.则1－a＝(2a－1)－(1－a)，解得a＝34.故答案为35或34.三、解答题11．(2011·广州)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF.求证：△ACE≌△ACF.解证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠CAE＝∠CAF.在△ACE和△ACF中，AE＝AF，∠CAE＝∠CAF，AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.12．(2011·衢州)如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC.(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；(3)在(2)的条件下，若AB＝AO，求tan∠OAD的值．解(1)解法一：证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE＝BD.又∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴AE∥CD，且AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∴AD＝CE.解法二：证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∠B＝∠EDC.∴AB＝DE.又∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△ABD≌△EDC(SAS)．∴AD＝EC.(2)解法一：证明：∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD.又∵由(1)得四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．解法二：证明：∵DE∥AB，∠BAC＝Rt∠，∴DE⊥AC.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费又∵由(1)得四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．解法三：证明：∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD＝CD.又∵AD＝EC，∴AD＝CD＝CE＝AE.∴四边形ADCE是菱形．(3)解法一：解：∵四边形ADCE是菱形，∴AO＝CO，∠AOD＝90°.又∵BD＝CD，∴OB是△ABC的中位线，则OD＝12AB.∵AB＝AO，∴OD＝12AO.∴在Rt△AOD中，tan∠OAD＝ODOA＝12.解法二：解：∵四边形ADCE是菱形，∴AO＝CO＝12AC，AD＝CD，∠AOD＝90°.∵AB＝AO，∴AB＝12AC.∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABAC＝12.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.∴tan∠OAD＝tan∠ACB＝12.13．(2011·南京)如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形．解(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ABF＝∠ECF.∵EC＝DC,∴AB＝EC.在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF.(2)解法一：∵AB＝CD＝EC，AB∥EC，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF＝EF,BF＝CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D.又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF.∴FA＝FB.∴FA＝FE＝FB＝FC,∴AE＝BC.∴▱ABEC是矩形．解法二：∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE.又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE.∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC.∴∠D＝∠FEC.∴AE＝AD.又∵CE＝DC，∴AC⊥DE.即∠ACE＝90°.∴▱ABEC是矩形.14．(2011·宁波)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．解(1)证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝12DC，BE＝12AB，∴DF∥BE，DF＝BE.∴四边形DEBF为平行四边形．∴DE∥BF.(2)证明：∵AG∥BD，∴∠G＝∠DBC＝90°.∴△DBC为直角三角形．又∵F为边CD的中点，∴BF＝12CD＝DF.又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．