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12999数学网几何应用性问题一、选择题1．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为()A．5mB．6mC．7mD．8m答案A解析如图，在Rt△ABC中，ACBC＝0.75，BC＝4，则AC＝3，AB＝5.2．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是()A．12πcm2B．15πcm2C．18πcm2D．24πcm2答案B解析因为底面周长为6π，设底面半径为r，所以2πr＝6π，r＝3，又h＝4，所以l＝5，S圆锥侧＝πrl＝15π，应选B.3．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3……，若使裁得矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是()A．24B．25C．26D．27答案C解析如图，在△ABC中，可求得BC＝40，设B1C1∥BC，得B1C1＝5，由△AB1C1∽△ABC，得B1C1BC＝AC1AC，于是540＝AC130，∴AC1＝3.75，∴CC1＝26.25≈26.12999数学网．如图，在正方形铁皮上(图①)剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成(图②)所示的一个圆锥模型，该圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为()A．R＝2rB．R＝94rC．R＝3rD．R＝4r答案D解析由图①，可知圆锥侧面展开图圆心角为90°，则rR×360＝90，R＝4r.5．(2010·达州)如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M、N分别是AB、CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了()A．7mB．6mC．5mD．4m答案B解析在Rt△ABC中，AC＝122＋162＝20；过D画DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，CD＝122＋52＝13，所以NC＝6.5，又MN＝12×(11＋16)＝13.5，所以AM＋MN＋NC＝6＋6.5＋13.5＝26，与AC相差6米．二、填空题6．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O(A与O点重合)．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是________．答案π解析由题意，可知线段AA′长等于圆的周长π×1＝π.7．(2010·江西)一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，12999数学网则∠ABC＋∠BCD＝________度．答案270解析过B画BG∥CD，则∠BCD＋∠CBG＝180°，又CD∥AE，所以BG∥AE.∠ABF＋∠BAE＝180°，可知∠BAE＝90°，所以∠ABF＝90°，∠ABC＋∠BCD＝180°＋90°＝270°.8．(2010·宁波)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC＝15°，则引桥的水平距离BC的长是________米(精确到0.1米)．答案11.2解析过A作∠BAD＝∠B＝15°，交BC于D，则BD＝AD，∠ADC＝30°.在Rt△ADC中，由∠ADC＝30°，得AD＝2AC＝2×3＝6，所以DC＝3AC＝33，故BC＝BD＋DC＝6＋33≈11.2.9．如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x＝________mm.答案2.5解析由题意，易知△OAB∽△OCD，OC∶OA＝CD∶AB.∵OC∶OA＝1∶2，∴CD∶AB＝1∶2，AB＝2CD＝20，∴x＝(25－20)÷2＝2.5.10．(2010·江西)如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC(假设ACAB)，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①mAC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是__________．答案①③④解析如图所示，当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，有mAC，①成立，则②不成立；当旋转到达地面时，为最短影子，n＝AB，③成立；由此可知，影子的长度先增大，后减小，12999数学网④成立．三、解答题11．如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解由题意可知：△POM∽△EAM，△PON∽△FBN，又∵OA＝20，AB＝14，∴OB＝6，∴AMOM＝AEPO，∴AMAM＋20＝1.68，解得AM＝5(米)．又BNON＝FBPO，∴BNBN＋6＝1.68，解得BN＝1.5(米)，AMBN，∴身影变短了3.5米．12．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120m，设AB边的长为xm，长方形ABCD的面积为S(m2)．(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值；(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5m宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S取得最大值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解(1)S＝x(120－2x)＝－2(x－30)2＋1800，当x＝30时，S取最大值为1800.12999数学网(2)如图所示，过O1、O2分别作到AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂线，垂足如图，根据题意可知，O1E＝O1F＝O1J＝O2G＝O2H＝O2I；当S取最大值时，AB＝CD＝30，BC＝60，∴O1F＝O1J＝O2G＝O2I＝12AB＝15，∴O1E＝O2H＝15，∴O1O2＝EH－O1E－O2H＝60－15－15＝30，∴两个等圆的半径为15，由于圆O1、圆O2相切，所以左右不能够留0.5米的平直路面．∴设计不可行．13．(2011·江西)图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆，半径为OA)，提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A－B－C－D－E－F，C－D是圆弧，其余是线段)，O是AF的中点，桶口直径AF＝34cm，AB＝FE＝5cm，∠ABC＝∠FED＝149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格．(参考数据：314≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.)解解法一：如图，连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝AF2＝17，∴tan∠ABO＝AOAB＝175＝3.4，∴∠ABO＝73.6°，∴∠GBO＝∠ABC－∠ABO＝149°－73.6°＝75.4°.又∵OB＝52＋172＝314≈17.72，∴在Rt△OBG中，.OG＝OB·sin∠OBG＝17.72×0.97≈17.1917.∴水桶提手合格．12999数学网解法二：如图，连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝17，∴tan∠ABO＝AOAB＝175＝3.4，∴∠ABO＝73.6°.要使OG≥OA，只需∠OBC≥∠ABO，∵∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝149°－73.6°＝75.4°＞73.6°，∴水桶提手合格．