2012年中考数学复习考点跟踪训练45方程型综合问题

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费考点跟踪训练45方程型综合问题一、选择题1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？()A.0B.3C.7D．10答案C解析设这包饼干有y片，则y23x＋3(x是大于0的整数)，而10y＝230x＋30，因而10y23＝10x＋3023＝10x＋1＋723，考虑余数723，故最少剩7片．2．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是()A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根C．没有实数根D．有两个相等的实数根答案C解析由x2＋x＋2＝0，得x2＋x＋14＝－74，所以x＋122＝－74，方程没有实数根．3．(2010·攀枝花)下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2＋1＝0B．9x2－6x＋1＝0C．x2－x＋2＝0D．x2－2x－1＝0答案D解析x2－2x－1＝0，x2－2x＋1＝2，(x－1)2＝2，x1＝1＋2，x2＝1－2.4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x－1)＝10B.xx－12＝10C．x(x＋1)＝10D.xx＋12＝10答案B解析设有x人参加聚会，则每个人需握手(x－1)次，所以xx－12＝10.5．设a、b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为()A．2006B．2007C．2008D．2009答案C解析根据题意，有a2＋a－2009＝0，a2＋a＝2009；又a＋b＝－1，所以a2＋2a＋b＝2008.二、填空题6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．答案60解析450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60.7．(2009·牡丹江)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了________折优惠．答案九解析设贵宾卡又享受x折优惠，则有10000×0.8×x10＝10000－2800,800x＝7200，x＝9.8．(2011·铜仁)当k________时，关于x的一元二次方程x2＋6kx＋3k3＋6＝0有两个相等的实数根．答案±1解析当(6k)2－4×1×(3k2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k＝±1.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费9．(2011·苏州)已知a、b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式()a－b()a＋b－2＋ab的值等于________．答案－1解析由根与系数的关系得a＋b＝2，ab＝－1，所以(a－b)(a＋b－2)＋ab＝(a－b)×0＋(－1)＝－1.10．(2009·江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程__________．答案7800(1＋x)2＝9100三、解答题11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由已知，得C(3,0)，D(2,2)，∵∠ADE＝90°－∠CDB＝∠BCD，又∠AOD＝∠COD＝∠ADO，∴AD＝AO＝BC＝2.又∠DAE＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BCD，∴AE＝BD＝1，∴OE＝1，∴E(0,1)．设过点E、D、C的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将点E的坐标代入，得c＝1.将c＝1和点D、C的坐标分别代入，得4a＋2b＋1＝2，9a＋3b＋1＝0.解得a＝－56，b＝136.故抛物线的解析式为y＝－56x2＋136x＋1.(2)EF＝2GO成立，证明如下：∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M的纵坐标为125.设DM的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，将点D、M的坐标分别代入，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费得2k＋b1＝2，65k＋b1＝125.解得k＝－12，b1＝3.∴DM的解析式为y＝－12x＋3.∴F(0,3)，EF＝2.如图①，过点D作DK⊥OC于点K，则DA＝DK.∵∠ADK＝∠FDG＝90°，∴∠FDA＝∠GDK.又∵∠FAD＝∠GKD＝90°，∴△DAF≌△DKG.∴KG＝AF＝1.∴GO＝1.∴EF＝2GO.(3)∵点P在AB上，G(1,0)，C(3,0)，设P(t,2)．∴PG2＝(t－1)2＋22，PC2＝(3－t)2＋22，GC＝2.①若PG＝PC，则(t－1)2＋22＝(3－t)2＋22，解得t＝2.∴P(2,2)，此时点Q与点P重合，∴Q(2,2)．②若PG＝GC，则(t－1)2＋22＝22，解得t＝1，∴P(1,2)，此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴点Q的纵坐标为73.∴Q1，73.③若PC＝GC，则(3－t)2＋22＝22，解得t＝3，∴P(3,2)，此时PC＝GC＝2，△PCG是等腰直角三角形．如图②，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH＝GH，设QH＝h，∴Q(h＋1，h)．∴－56(h＋1)2＋136(h＋1)＋1＝h.解得h1＝75，h2＝－2(舍去)．∴Q125，75.综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q1(2,2)或Q21，73或Q3125，75.12．已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费解(1)∵对称轴x＝－3a2a＝－32，又∵OC＝3OB＝3，a0，∴C(0，－3)．把B(1,0)、C(0，－3)代入y＝ax2＋3ax＋c得c＝－3，a＋3a＋c＝0，解得a＝34，c＝－3.∴y＝34x2＋94x－3(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝152＋12·DM·(AN＋ON)＝152＋2DM.∵A(－4,0)，C(0，－3)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，代入求得：y＝－34x－3，令Dx，34x2＋94x－3，Mx，－34x－3，则DM＝－34x－3－34x2＋94x－3＝－34(x＋2)2＋3.当x＝－2时，DM有最大值3，此时四边形ABCD面积有最大值272.(3)如图①所示，讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，∵C(0，－3)，令34x2＋94x－3＝－3得x1＝0，x2＝－3，∴CP1＝3.∴P1(－3，－3)．②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C(0，－3)，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费∴可令P(x,3)，由34x2＋94x－3＝3得：x2＋3x－8＝0，解得x1＝－3＋412或x2＝－3－412，此时存在点P2－3＋412，3和P3－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－3，－3)，P2－3＋412，3，P3－3－412，3.13．(2011·北京)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n,0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N.若只有当－2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．解(1)∵点A、B是二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m0)的图象与x轴的交点，∴令y＝0，即mx2＋(m－3)x－3＝0，解得x1＝－1,x2＝3m.又∵点A在点B左侧且m0，∴点A的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点B的坐标为(3m，0)．∵二次函数的图象与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，－3)．∵∠ABC＝45°，∴3m＝3，∴m＝1.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费(3)由(2)得，二次函数解析式为y＝x2－2x－3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx＋b中，得－2k＋b＝5，2k＋b＝－3.解得k＝－2，b＝1.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋1.