2012年中考数学复习训练23平行四边形

2012年中考数学复习训练23平行四边形一、选择题1．(2011·泰州)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有()A．1组B．2组C．3组D．4组答案C解析四组条件中，①②③可作为判定平行四边形的条件；④不可以，因为等腰梯形有AB∥CD，AD＝BC.2．(2011·宁夏)点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析如图，可画出平行四边形三个，符合条件的点D有三个．3．(2011·达州)如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC＝∠DCE，则下列结论不．正确．．的是()A．S△AFD＝2S△EFBB．BF＝12DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB＝∠ADC答案A解析因为E是BC的中点，所以BE＝12BC，又四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，△AFD∽△EFB，S△EFBS△AFD＝BEAD2＝122＝14，故S△AFD＝4S△EFB.4．(2011·安徽)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是()A．7B．9C．10D．11答案D解析∵E、F是AB、AC的中点，∴EF綊12BC.∵H、G是BD、CD的中点，∴HG綊12BC.∴EF綊HG，四边形EFGH是平行四边形．∵E、H是AB、BD的中点，∴EH＝12AD＝3.在Rt△BCD中，BC＝32＋42＝5，所以▱EFGH的周长＝2×3＋52＝11.5．(2011·浙江)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD·AE＝EF·CG；一定正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE＝BD，故①正确．②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD.∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，故②正确．③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°.∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠BAE＝360°－90°－90°－45°＝135°，∴∠BAD＝∠BAE.又∵AB＝AB，AD＝AE，∴△BAE≌△BAD(SAS)，∴∠ADB＝∠AEB，故③正确．④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA＝∠AEC＝∠BDA.∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＋∠BDA＝90°.∵∠GFD＝∠AFE，∴∠GDF＋GFD＝90°，∴∠CGD＝90°.∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD～△EAF，∴CDEF＝CGAE，∴CD·AE＝EF·CG，故④正确．正确的结论有4个，选D.二、填空题6．(2011·苏州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于___________．答案3解析∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO＝12AC＝12×6＝3.7．(2011·聊城)如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是__________cm.答案6解析在▱ABCD中，BO＝DO，∵点E是AE中点，∴AE＝BE，∴EO是△ABD的中位线．∴OE＝12AD，∴AD＝2×3＝6cm.8．(2011·临沂)如图，▱ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为________．答案6解析在▱ABCD中，AB∥DC，∴∠E＝∠DCF.∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCE，∴∠E＝∠BCE，∴BC＝BE.∵AB＝AE＝3，∴BE＝6.即BC＝6.9．(2011·泉州)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．答案18°解析∵P是BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，∴PE＝12AD，PF＝12BC.∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝18°.10．(2011·金华)如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________．答案23解析在Rt△BEF中，∠ABC＝60°，BE＝12BC＝12AD＝12×4＝2.∴BF＝1，EF＝3.易证△BEF≌△CEH，∴BF＝CH＝1，EF＝EH＝3，∴S△DEF＝S△DEH＝12DH·EH＝12×(3＋1)×3＝23.三、解答题11．(2011·宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.解证明：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.同理可证，OG＝OH.∴四边形EGFH是平行四边形．∴GF∥HE.12．(2011·福州)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.已知：在四边形ABCD中，__________，__________；求证：四边形ABCD是平行四边形．解选①、③.证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠B＝180°，∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．(选①④、③④均可)13．(2011·义乌)如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．解(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)．(2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.14．(2011·广东)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．解(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝12AB，AC＝32AB.在等边△ABE中，EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，AF＝12AE，EF＝32AE＝32AB，∴AC＝EF.(2)在等边△ACD中，∠DAC＝60°，∴∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA，∴AD∥EF.又AD＝AC＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形．15．(2011·北京)在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．解(1)证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F，∴CE＝CF.(2)∠BDG＝45°.(3)解法一：分别连接GB、GE、GC(如图4)．∵AB∥DC，∠ABC＝120°，∴∠ECF＝∠ABC＝120°.∵FG∥CE且FG＝CE，∴四边形CEGF是平行四边形．由(1)得CE＝CF,∴▱CEGF是菱形，∴EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝12∠ECF＝60°.∴△ECG是等边三角形．∴EG＝CG，…①∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠GEC＝∠GCF，∴∠BEG＝∠DCG，…②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE.在▱ABCD中，AB＝DC，∴BE＝DC，…③由①②③得，△BEG≌△DCG.∴BG＝DG，∠1＝∠2，∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°.∴∠BDG＝12(180°－∠BGD)＝60°.解法二：延长AB、FG交于H，连接HD，如图5，易证四边形AHFD是平行四边形．∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD＝DF，图5∴平行四边形AHFD是菱形，∴△ADH、△DHF为全等的等边三角形，∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°.∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∴BH＝GF.∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF，∴∠BDG＝∠BDH＋∠HDG＝∠GDF＋∠HDG＝60°.