用心爱心专心八.几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算,主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算,从图形上分类有:三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有:几何法、代数法、三角法等。一、三种常用解题方法举例例1.如图,在矩形ABCD中,以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T,与对角线AC交于P,PE⊥AB于E,AB=10,求PE的长.解法一:(几何法)连结OT,则OT⊥CD,且OT=21AB=5BC=OT=5,AC=25100=55∵BC是⊙O切线,∴BC2=CP·CA.∴PC=5,∴AP=CA-CP=54.∵PE∥BC∴ACAPBCPE,PE=5554×5=4.说明:几何法即根据几何推理,由几何关系式进行求解的方法,推理时特别要注意图形中的隐含条件.解法二:(代数法)∵PE∥BC,∴ABAECBPE.∴21ABCBAEPE.设:PE=x,则AE=2x,EB=10–2x.连结PB.∵AB是直径,∴∠APB=900.在Rt△APB中,PE⊥AB,∴△PBE∽△APE.∴21AEPEEPEB.∴EP=2EB,即x=2(10–2x).解得x=4.∴PE=4.说明:代数法即为设未知数列方程求解,关键在于找出可供列方程的相等关系,例如:相似三角形中的线段比例式;勾股定理中的等式;相交弦定理、切割线定理中的线段等积式,以及其他的相等关系.解法三:(三角法)连结PB,则BP⊥AC.设∠PAB=α在Rt△APB中,AP=10COSα,在Rt△APE中,PE=APsinα,∴PE=10sinαCOSα.在Rt△ABC中,BC=5,AC=55.∴sinα=55555,COSα=5525510.∴PE=10×55255=4.说明:在几何计算中,必须注意以下几点:(1)注意“数形结合”,多角度,全方位观察图形,挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系.(2)注意推理和计算相结合,先推理后计算,或边推理边计算,力求解题过程规范化.(3)注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.二.其他题型举例例2.如图,ABCD是边长为2a的正方形,AB为半圆O的直径,CE切⊙O于E,与BA的OPABTCDEOBADCFE用心爱心专心延长线交于F,求EF的长.分析:本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.解:连结OE,∵CE切⊙O于E,∴OE⊥CF∴△EFO∽△BFC,∴FBFEBCOE,又∵OE=21AB=21BC,∴EF=21FB设EF=x,则FB=2x,FA=2x–2a∵FE切⊙O于E∴FE2=FA·FB,∴x2=(2x–2a)·2x解得x=34a,∴EF=34a.例3.已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于点A、B,且点O1在⊙O2上,连心线O1O2交⊙O1于点C、D,交⊙O2于点E,过点C作CF⊥CE,交EA的延长线于点F,若DE=2,AE=52(1)求证:EF是⊙O1的切线;(2)求线段CF的长;(3)求tan∠DAE的值.分析:(1)连结O1A,O1E是⊙O2的直径,O1A⊥EF,从而知EF是⊙O1的切线.(2)由已知条件DE=2,AE=52,且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线,运用切割线定理EA2=ED·EC,可求得EC=10.由CF⊥CE,可得CF是⊙O1的切线,从而FC=FA.在Rt△EFC中,设CF=x,则FE=x+52.又CE=10,由勾股定理可得:(x+52)2=x2+102,解得x=54.即CF=54.(3)要求tan∠DAE的值,通常有两种方法:①构造含∠DAE的直角三角形;②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切(等角转化).在求正切值时,又有两种方法可供选择:①分别求出两线段(对边和邻边)的值;②整体求出两线段(对边和邻边)的比值.解:(1)连结O1A,∵O1E是⊙O2的直径,∴O1A⊥EF∴EF是⊙O1的切线..(2)∵DE=2,AE=52,且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线∴EA2=ED·EC,∴EC=10由CF⊥CE,可得CF是⊙O1的切线,从而FC=FA.在Rt△EFC中,设CF=x,则FE=x+52.又CE=10,由勾股定理可得:(x+52)2=x2+102,解得x=54.即CF=54.(3)解法一:(构造含∠DAE的直角三角形)作DG⊥AE于G,求AG和DG的值.分析已知条件,在Rt△AO1E中,三边长都已知或可求(O1A=4,O1E=6),又DE=2,且DG∥AO1(因为DG⊥AE),运用平行分线段成比例可求得DG=,354,34AG从而tan∠DAE=55.解法二:(等角转化)连结AC,由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900,所以只需求ACAD的值即可.观察BO1DCO2EAF用心爱心专心和分析图形,可得△ADE∽△CAE,551052CEAEACAD.从而tan∠ACD=55ACAD,即tan∠DAE=55.说明:(1)从已知条件出发快速地找到基本图形,得到基本结论,在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题(2)求CF的长时,要能很快地运用切割线定理,先求出CE的长.(2)方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法,要熟练地掌握.例4.如图,已知矩形ABCD,以A为圆心,AD为半径的圆交AC、AB于M、E,CE的延长线交⊙A于F,CM=2,AB=4.(1)求⊙A的半径;(2)求CF的长和△AFC的面积.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=4,在Rt△ACD中,AC2=CD2+AD2,∴(2+AD)2=42+AD2,解得AD=3.(2)A作AG⊥EF于G.∵BG=3,BE=AB―AE=1,∴CE=10132222BEBC由CE·CF=CD2,得CF=105810422CECD.又∵∠B=∠AGE=900,∠BEC=∠GEA,∴△BCE∽△GAE.∴AECEAGBC,即,3103AGS△AFC=21CF·AG=536.例5.如图,△ABC内接于⊙O,BC=4,S△ABC=36,∠B为锐角,且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点(点D不与点A、C重合),DE平分∠ADC,交⊙O于点E,交AC于点F.(1)求∠B的度数;(2)求CE的长.分析:本题是一道综合了代数知识的几何计算题,考察了圆的有关性质,解题时应注意线段的转化.解:(1)∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4cosB)2-4=0.∴cosB=21,或cosB=-21(舍去).又∵∠B为锐角,∴∠B=600.(2)点A作AH⊥BC,垂足为H.S△ABC=21BC·AH=21BC·AB·sin600=36,解得AB=6在Rt△ABH中,BH=AB·cos600=6×21=3,AH=AB·sin600=6×3323,∴CH=BC-BH=4-3=1.在Rt△ACH中,AC2+CH2=27+1=28.∴AC=72(负值舍去).∴AC=72.连结AE,在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=1800,∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC,∴∠EDC=600=∠EAC.又∵∠AEC=∠B=600,∴∠AEC=∠EAC,∴CE=AC=72.例6.已知:如图,⊙O的半径为r,CE切⊙O于点C,且与弦AB的延长线交于点E,CD⊥AB于D.如果CE=2BE,且AC、BC的长是关于x的方程x2–3(r–2)x+r2–4=0的两个实数根.求(1)AC、BC的长;(2)CD的长.分析:(1)图中显然存在切割线定理的基本图形,从而可得△ECB∽△EAC,AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根,由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.(2)∵CD是Rt△CDB的一边,所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF,连结AF,则Rt△CDB∽Rt△CAF,据此可列式计算.MAEBDCFGODBACEHF用心爱心专心解:(1)∵CE切⊙O于C,∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角,∴△ECB∽△EAC,21CEBEACBC,∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3(r–2)x+r2–4=0的两个实数根,∴AC+BC=3(r-2);AC·BC=r2-4,解得r=6,∴BC=4,AC=8.(2)CO并延长交⊙O于F,连结AF,则∠CAF=900,∠CFA=∠CBD.∵∠CDB=900=∠CAF,∴△CAF∽△CDB,BCCFCDAC.∴CD=381248CFBCAC.说明:(1)这是一道代数、几何的综合题,关键是寻找相似三角形,建立线段之间的比例关系,再根据根与系数关系列等式计算;(2)构造与相似的直角三角形的方法有许多种,同学们不妨试一试.例7.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=CE∶EB=6∶5,AE∶EB=2∶3,求AB的长和∠FCB的正切值.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=900.∴∠CAB+∠B=900,又∠PAC=∠B,∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB,∴PA是⊙O的切线.(2)设CE=6a,AE=2x,则ED=5a,EB=3x.由相交弦定理,得2x·3x=5a·6a∴x=5a.连结AD.由△BCE∽△DAE,得553EDEBADBC.连结BD.由△BED∽△CEA,得25AEBEACBD.∴BD=54.由勾股定理得BC=228AB,AD=2)54(AB.∴553)54(82222ABAB.两边平方,整理得1002AB,∴10AB(负值舍去).∴AD=52.∵∠FCB=∠BAD,∴tan∠FCB=tan∠BAD=25254ADBD.解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识,较强的逻辑推理能力,分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用,还特别要注意图形中的隐含条件,在平时的学习中要善于总结归纳,只有这样才能掌握好几何计算题的解法.POABCFDOAECDFB