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12999数学网直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2010·达州)生活处处皆学问．如图，自行车轮所在两圆的位置关系是(C)A．外切B．内切C．外离D．内含答案解析自行车前、后两车轮所在两圆没有交点，且前车轮所在圆在后车轮所在圆的外部，故两圆外离．2．(2010·无锡)已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足(D)A．d9B．d＝9C．3d9D．d＝3答案解析内切两圆的圆心距d＝R－r＝6－3＝3.12999数学网．(2010·宁波)两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是(B)A．内切B．相交C．外切D．外离答案解析设这两圆的圆心距为d＝7，由5－3d5＋3，得知两圆相交．4．(2010·上海)已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是(A)A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含答案解析如图所示，当两圆外切时，切点A能满足AO1＝3；当两圆内切时，切点A能满足AO1＝3；当两圆相交时，交点A能满足AO1＝3.所以选择A.12999数学网．(2011·茂名)如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是(D)A．4B．8C．16D．8或16答案解析当⊙O2在⊙O1的右侧时，点O2向右平移8个单位；当⊙O2在⊙O1的左侧时，点O2向左平移16个单位．二、填空题6．(2011·苏州)如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD＝3，则线段BC的长度等于_____1_____．答案12999数学网∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD.∵AC＝3BC，∴OA＝OB＝BC.在Rt△OCD中，设OD＝r，则OC＝2r，r2＋(3)2＝(2r)2，∴r＝1，即BC＝r＝1.7．(2011·南充)如图，PA、PB是⊙O是切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝_____50_______度．答案解析∵∠BAC＝25°，OA＝OB，∴∠AOB＝180°－2×25°＝130°.∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥BP，∴在四边形AOBP中，∠P＝360°－130°－90°－90°＝50°.8．(2010·株洲)两圆的圆心距d＝5，它们的半径分别是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，则这两圆的位置关系是___外切_______．答案12999数学网－5x＋4＝0，得x1＝4，x2＝1，∵x1＋x2＝4＋1＝5＝d，∴两圆外切．9．(2011·南通)已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝33x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝9.答案解析如上图，设直线与三个半圆的切点分别是A、B、C，连接AC1、BC2、CC3.∵直线y＝33x，∴∠AOC1＝30°.在RtAOC1，AC1＝r1＝1，∴OC1＝2AC1＝2×1＝2；12999数学网△BOC2中，BC2＝r2，OC2＝2＋1＋r2＝3＋r2，∵3＋r2＝2r2，∴r2＝3；在Rt△COC3中，CC3＝r3，OC3＝6＋3＋r3＝9＋r3，∵9＋r3＝2r3，∴r3＝9.10．(2011·衢州)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B，较短边AB＝8cm.若读得BC长为a(cm)，则用含a的代数式表示r为___________.答案当0r≤8时，r＝a；当r8时，r＝116a2＋412999数学网解析①易知，0r≤8时，r＝a；②当r8时，如图．连接OC，∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC.连结OA，过点A作AD⊥OC于点D，则ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB.在直角三角形AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即：r2＝(r－8)2＋a2，整理得：r＝116a2＋4.综上，当0r≤8时，r＝a；当r8时，r＝116a2＋4.三、解答题12999数学网．(2011·乌兰察布)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F.(1)求证：BD＝BF；(2)若BC＝12，AD＝8，求BF的长．解(1)证明：连接OE，则OE⊥AC，∴∠AEO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠CEF＋∠F＝90°.∵∠AED＋∠OED＝90°，∠AED＝∠CEF，∴∠OED＝∠F.12999数学网又∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠ODE＝∠F，∴BD＝BF.(2)解：Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角，∴Rt△ABC∽Rt△AOE，∴OEBC＝AOAB.新课标第一网设⊙O的半径是r，则有r12＝8＋r8＋2r，解得r＝8，∴BF＝BD＝16.12999数学网．(2011·泰州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N.(1)点N是线段BC的中点吗？为什么？(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm，AB＝5cm，BC＝10cm，求小圆的半径．解(1)N是BC的中点．理由如下：∵AD与小圆相切于点M，∴OM⊥AD.又∵AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON＝r＋5，OB＝r＋6，BN＝5cm，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB2＝BN2＋ON2，即：(r＋6)2＝(r＋5)2＋52，解得r＝7cm.∴小圆的半径为7cm.12999数学网．(2011·义乌)如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD＝3，cos∠BCD＝34.(1)求证：CD∥BF；(2)求⊙O的半径；(3)求弦CD的长.解(1)∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF.∵AB⊥CD，∴CD∥BF.(2)连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵∠BCD＝∠BAD，cos∠BCD＝34，∴cos∠BAD＝ADAB＝34.又∵AD＝3，∴AB＝4.∴⊙O的半径为2.(3)∵cos∠DAE＝AEAD＝34，AD＝3，∴AE＝94.12999数学网∴ED＝32－942＝374.∴CD＝2ED＝372.14．(2010·莆田)如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，点D为劣弧AB的中点．(1)求证：四边形AOBD是菱形；(2)延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP＝3OB，求证：AP是⊙O的切线．解证明：(1)连接OD.∵D是劣弧AB的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOD＝∠DOB＝60°.又∵OA＝OD，OD＝OB，∴△AOD和△DOB都是等边三角形．12999数学网∴AD＝AO＝OB＝BD.∴四边形AOBD是菱形．(2)连接AC.∵BP＝3OB，OA＝OC＝OB，∴PC＝OC＝OA.∵∠AOB＝120°.∴∠AOC＝60°.∴△OAC为等边三角形．∴PC＝AC＝OC.∴∠CAP＝∠CPA.又∵∠ACO＝∠CPA＋∠CAP，∴∠CAP＝30°，∴∠PAO＝∠OAC＋∠CAP＝90°，∴PA⊥AO.又∵OA是半径，∴AP是⊙O的切线．12999数学网．(2011·南京)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t(s)．(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．解(1)直线AB与⊙P相切．理由如下：如图，过点P作PD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝AC2＋BC2＝10cm.12999数学网∵P为BC的中点，∴PB＝4cm.∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC.∴△PBD∽△ABC.∴PDAC＝PBAB，即PD6＝410，∴PD＝2.4cm.当t＝1.2时，PQ＝2t＝2.4cm.∴PD＝PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径.∴直线AB与⊙P相切．(2)∵∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴OB＝12AB＝5cm.连接OP.∵P为BC的中点，∴OP＝12AC＝3cm.∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切.∴5－2t＝3或2t－5＝3，∴t＝1或4.∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.