2012年中考数学试题分类汇编《三角形》及解析

-1-2012中考数学试题及答案分类汇编：三角形2．选择题1.（天津3分）sin45°的值等于（A)12(B)22(C)32(D)1【答案】B。【考点】特殊角三角函数。【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。2.（河北省3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为A、B、2C、3D、4【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质。【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，∴∠EDA=∠EDA′=90°，AE=A′E，∴△ACB∽△AED。∴EDAEBCAC。又∵A′为CE的中点，∴AE=A′E=A′C。∴ED163。∴ED=2。故选B。3.（山西省2分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为A．33cmB．4cmC．23cmD．25cm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE=5，即可得出AC=25。故选D。4.（内蒙古呼和浩特3分）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【答案】D。-2-【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当6为腰，3为底时，6﹣3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选D。5.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，△ACB≌△A1CB1,∠BCB1=30°，则∠ACA1的度数为A．20°B.30°C.35°D.40°【答案】B。【考点】全等三角形的性质。【分析】根据全等三角形对应角相等的性质，得∠ACB=∠A1CB1，所以∠ACB－∠BCA1=∠A1CB1－∠BCA1，即∠ACA1=∠BCB1=35°。故选B。3．填空题1.（山西省3分）如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是▲。【答案】132。【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为点G，AB与DC交于点F，则DA∥GE∥BC。∵点E是CD的中点，AB=12，∴根据平行的性质，得AG=6。∵DA∥BC，∴△ADF∽△BCF。∴DAAFCBBF。∵AB=12，即BF=12－AF。∴DAAFCB12AF。又∵AD=5，BC=10，∴5AF1012AF，解得，AF=4，FB=8。FG=6－4=2。∵GE∥BC，∴△FGE∽△FBC。∴FGGEFBBC，即2GE810，解得，GE=52。∴在Rt△AGE中，由勾股定理，得AE=2222513GE+AG622。2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为▲．【答案】3。-3-【考点】翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，平角定义，等边三角形的判定与性质。【分析】根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3。由轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，∴DC=DC′=2，∠BDC′=60°。故△BDC′为等边三角形，故BC′=3。3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为▲．【答案】10。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质。【分析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4。∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20。∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5。∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。4.（内蒙古包头3分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是▲．【答案】①②。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定。【分析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°。∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°。∴∠DAC=∠BAE。∴△DAC≌△BAE（SAS）。∴BE=DC。【①正确】∴∠ADC=∠ABE。∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°。【②正确】∵由△DAC≌△BAE和AB≠AC，得∠ADC≠∠AEB，∴∠ODB≠∠OEC。又∵∠ODB＜60°，∠OCE＞60°，∴∠ODB≠∠OCE。而∠DOB=∠EOC，∴△BOD和△COE不相似。【③错误】5.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为▲．DFEABCADBCEO-4-【答案】157。【考点】角平分线和垂直的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用。【分析】延长BA与CD，交于F，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠FCE。∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°。∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA）。∴BE=EF。∵BE=2AE，∴BF=4AF。又∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC。∴2FADFBCSAF1SBF16=。设S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x。∵四边形AECD的面积为1，∴7x=1，∴x=17。∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x=157。6.（内蒙古乌兰察布4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900,AB=8cm,BC=6cm,分别以A,C为圆心，以AC2的长为半径作圆,将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为▲cm2（结果保留π）【答案】25244。【考点】直角三角形两锐角的关系，勾股定理，扇形的面积。【分析】由题意可知，阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。三角形面积为168242=。由勾股定理，得AC=10，圆半径为5。∵在Rt△ABC中，∠ABC=900,∴∠A＋∠C=900。∴两个扇形的面积的和为半径5，圆心角900的扇形的面积，即四分之一圆的面积254。-5-∴阴影部分的面积为25244cm2。7.（内蒙古乌兰察布4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为80和100，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是▲m.（不考虑其它因素）【答案】75。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得BC＝BD－CD＝00ADAD2877AD71tan8tan10555===。4．解答题1.（北京5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D。在△ABC和△FDC中ABEDABFDAF，∴△ABC≌△FDC（ASA）。∴AE=FC．【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。-6-2.（北京5分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．【答案】解：（1）证明：连接AE。∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。∴∠1+∠2=90°。∵AB=AC，∴∠1=12∠CAB。∵∠CBF=12∠CAB，∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线。（2）过点C作CG⊥AB于点G。∵sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，∴sin∠1=55。∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=5。∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=25。在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=25，∴sin∠2=255，cos∠2=55。在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3。∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。∴GCAGBFAB。∴GCAB20BFAG3。【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°。（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。3.（北京5分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．-7-小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34．【答案】解：△BDE的面积等于1。（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。（2）连接EF，PE，则△CFP可公割成△PEF，△PCE和△EFC。∵四边形BEPF是平行四边形，∴△PEF≌△BFE。又∵E，F是AC，AB的中点，∴△BFE的底和高都是△ABC的一半。∴△BFE的面积是△ABC的14，即△PEF的面积是△ABC的14。同理，△PCE和△EFC的面积都是△ABC的14。∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于34。【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形-8-知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的34。4.（天津8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m．在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C．在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向．求此时游轮与望梅楼之间的距离B