2010年高考数学复习必备精品空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积一．【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二．【命题走向】近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2010年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．【要点精讲】1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底31S底·h正棱锥21ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下底+下底下底SS)正棱台21(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)31πr2h31πh(r21+r1r2+r22)34πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径四．【典例解析】题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：24)(420)(2zyxzxyzxy)2()1(由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2）∵AM=AA1cos3=3×21=23∴AO=4cosAM=223。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－29=29，∴A1O=223，平行六面体的体积为22345V230。题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是PABCDOE（）A．23B．32C．6D．6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝2，c＝3，则对角线l的长为l=6222cba；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=41S,V1=31h(S+41S+41S)=127ShV2=Sh-V1=125Sh，∴V1∶V2=7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可题型3：锥体的体积和表面积例5．7.(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.223B.423C.2323D.2343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为21232333所以该几何体的体积为2323.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.22侧(左)视图222正(主)视图（2009四川卷文）如图，已知六棱锥ABCDEFP的底面是正六边形，ABPAABCPA2,平面则下列结论正确的是A.ADPBB.PAB平面PBC平面C.直线BC∥PAE平面D.直线ABCPD与平面所成的角为45°【答案】D【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BC∥AD∥平面PAD,∴直线BC∥PAE平面也不成立。在PADRt中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°.∴D正确（2009全国卷Ⅱ文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于47，则球O的表面积等于×答案：8π解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由.8)14474(4422RS例61.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：PEFGHABCDEFGHVVV2214060402032000320006400032cm（３）如图,连结EG,HF及BD，EG与HF相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,PO平面EFGH,POHF又EGHFHF平面PEG又BDHFPBD平面PEG例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD＝42，EF22，CO＝344232×。GOCOGC222232218422()。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由VVBEFGGEFB，得16EFGOh··13SEFB△·点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例8．2009年上海卷理）已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是___________.【答案】12323SSS【解析】2114RS，112RS，同理：222RS332RS，即R1＝21S，R2＝22S，R3＝23S，由32132RRR得12323SSS例9．（2009安徽卷文）（本小题满分13分）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想【解析】(1)由于EA=ED且'''EDABCDEDEC面DBAOCEF点E'在线段AD的垂直平分线上,同理点F'在线段BC的垂直平分线上.又ABCD是四方形线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点E'F'都居线段AD的垂直平分线上所以,直线E'F'垂直平分线段AD.(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE'中,由于ME'=1,3'2MEEE.EV—ABCD21142'22333SABCDEE四方形又EV—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC211122'223323ABCSEE多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=22例10．（1）（2009浙江卷理）如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC．在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是．答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，1t，随着F点到C点时，因,,CBABCBDKCB平面ADB，即有CBBD，对于2,1,3CDBCBD，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有12t，因此t的取值范围是1,12例11．3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339，上面的长方体体积为3319，因此其几何体的体积为18例12．2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得23BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.例13．已知过球面上,,ABC三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2ABBCCA，求球的表面积解：设截面圆心为O，连结OA，设球半径为R，则23232323OA，在RtOOA中，222OAOAOO，∴222231()34RR，∴43R，∴26449SR。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得60sin2a=2r,∴r=36a。又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=22dr。又PO′=22rPA=2232aa=33a，∴OO′=R－33a=d=22rR,(R－33a)2=R2–(36a)2，解得R=23a,∴S球=4πR2=3πa