2011118010应卓蓉投资地模型

层次分析模型2011118010应卓蓉摘要：本问题解决的是某投资者要到某市投资，首先要考虑当地工资水平，其次是市场便利安全性和市场规模，最后是办公成本。所以需要一种可靠性的定量的容易操作的，并且具有说服力的方法来帮助作出决策。本文采用定性和定量结合的层次分析法步骤，构成选择投资区域的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出6个具体因素，建立层次分析结构模型，构造成对比较矩阵，计算权向量并作一致性检验，通过检验得到的组合权向量可以作为最终决策的依据.通过查看最后组合权向量结果(3)w=（0.36650.34430.3000）T，得出选择投资区域为A。本模型成功解决了投资者面对几个条件不一的投资地时合理选择投资地。层次分析法是解决离散模型的普遍方法，在产业结构，教育，医疗，环境，军事等领域,得到了成功的应用。关键字：投资区域层次分析法权向量一致性检验一、问题重述某公司要在A.B.C选择投资地，该投资者认为选择投资地点的主要因素为工资水平、办公成本、市场规模、便利性等，下表列出了投资者搜集到的这三个区域的相关信息，请替该公司作出决策。选择因素选择变量A区B区C区工资水平（元/人*年）530004200039000商务楼租金（元/米2*天）2.534市场规模高中中交通便利性堵塞通畅通畅与相关单位联络便利性高一般较高社会安全一般较高一般二、问题分析层次分析法机那里目标层为选择地，工资水平、市场规模、办公成本、便利性为准则层，其中，便利性包含交通便利性、社会安全、和与周围相关单位的联系，相当于建立多层模型，方案层为A、B、C地。三、模型假设1、三个地区具备的其他条件差不多，不予考虑；2、考虑的每一个因素对于其他因素所产生的结果的影响微乎其微；3、假设在投资期间，工资水平，商务楼租金，市场规模等因素在一段时间内不会出现幅度十分巨大的改变；4、题目所给可靠性高；5、假设只存在三个区域单独可供投资者选择，投资方案不进行几个区域组合选择。四、符号定义与说明B决策层O选择投资区域C准则层A成对比较矩阵1c工资水平2c办公成品3c市场规模4c市场便利安全性5c社会安全6c单位联络便利性0w权向量特征根n矩阵的秩CI一致性指标CR一致性比率(3)iw（i=1,2...6）决策层对于准则层权向量(3)w组合权向量RI一致性指标五、模型建立与求解1.建立层次分析结构模型目标层O：选择投资地准则层C：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性决策层B：A区，B区，C区2.构造准则层对于目标层成对比矩阵假设要比较准则层4个因素1c,2c，3c，4c，5c，6c对上层一个因素选择投资区域O的影响。每次取两个因素ic和jc，用aij表示表示ic和jc表示对O的影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵*=(a)ijnnA,aij0,(1)表示。由（1）给出的aij的特点,A称为正互反矩阵。显然比有iia=1。在调查情况后，我们分析得出，市场上投资者在投资区域时所考虑的用1c，2c，3c，4c，5c，6c依次表示工资水平、办公成品、市场规模、市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性6个准则，构造C--O成对比较距阵（正互反阵）为：O1C2C3C4C5C6C1C152545454542C251121212123C45211114C45211115C45211116C4521111从矩阵上可以看出，125=2a表示工资水平1C对于办公成品2C对选择投资区域这个目标的o重要性之比为5:2；135=4a表示工资水平1C对于市场规模3C对选择投资区域这个目标O重要性之比为5:4；212=5a表示办公成品2C对于工资水平1C之比为2:5.可以看出此投资者在选择投资区域的时，最看重工资成本，其次是市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性，最后是办公成品。比较尺度：在进行定性的成对比矩阵时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如表1。表1：1-9尺度aij的含义1ic与jc的影响相同3ic与jc的影响稍强5ic与jc的影响强7ic与jc的影响明显的强9ic与jc的影响绝对的强2,4,6,8ic与jc的影响之比在上述两个相邻之间1,1/2,......1/9jc与ic的影响之比为上面个aij的互反数3.计算权向量和特征值并进行一致性检验计算权向量，对应于A最大特征根（即作）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=w（2）直观地看，应为矩阵A的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素aij，所以当aij离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。（2）式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法。我们用根法来求权向量：a.将A的每一列向量归一化得~=1=ijijnijiawa；b.对~ijw按行求和得~~1/=1=nnijijjww（）；c.将~ijw归一化~~=1=inii，w=（1w，2w，......nw)T即为近似特征向量；d.计算=1(Aw)1=niiinw，作为最大特征根的近似值。1.00002.50001.25001.25001.25001.25000.40001.00000.50000.50000.50000.50000.80002.00001.00001.00001.00001.0000列向量归一化A=0.80002.00001.00001.00001.00001.00000.80002.00001.00001.00001.00001.00000.80002.00001.00001.00001.00001.00000.21740.21740.21740.21740.21740.21740.08700.08700.08700.08700.08700.08700.17390.17390.17390.17390.17390.1739按行求和0.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17391.30440.21741.31790.52200.08700.52721.04340.17391.05431.0434归一化0.1739=0wA0w=1.05431.04340.17391.05431.04340.17391.054311.31790.52721.05431.05431.05431.0543=+++++=6.062160.21740.08700.17390.17390.17390.1739（）一致性检验：成对比矩阵通常不是一致阵，但是为了你能用它的对应于特征矩阵根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内。据定理，n阶正反矩阵A的最大特征根=n;当=n时A是一致阵。根据这个定理和连续地依赖于aij的事实可知，比n大的挺多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用-n数值的大小来衡量A的不一致程度。Saaty将-=-1nCIn(3)定义为一致性指标。CI=0时A一致阵；CI越大A的不一致程度越严重。为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准。Saaty又引入所谓随机一致性指标CR。Saaty对于不同的n，用100~500个样本'A算出的随机一致性指标RI的数值如表2。表2：随机一致性指标RI的数值表中n-1,2时RI=0,是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵。对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶（指n相同）的随机一致性的指标RI之比成为一致性比率CR当0.1CICRRI（4）是认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。权向量检验：根据上面计算结果，=6.0621,按公式（3）计算，6.0621-6=0.01246-1CI,在表2中查=1.24RI按（4）式计算，0.0124==0.01000.11.24CR，一致性检验通过，上述0w可以作为权向量。4.构造决策层对准则层成对比较矩阵并计算特征值和特征向量在投资选择区域问题中我们已经得到第2层对第1层的权向量。记作2(2)(2)(2)124=(w,w.....w)Tw.用同样的方法构造第3层（决策层）对第2层(准则层)的每一个准则的成对比较阵。（1）1C对B判断矩阵：A区，B区，C区取权重如下：1CABCA10.86140.7307B1.161010.8483C1.36851.17881计算权向量(3)1w：(3)1w=(0.28330.32890.3878）T计算特征值：3.0000(2)2C对B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：2CABCA11.21.6003B0.833311.3336C0.62490.74991计算权向量(3)2w：(3)2w=(0.40680.33900.2542)T(5)计算特征值：3.00005C对B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：5CABCA1141B414C1141计算权向量(3)5w：(3)5w=（0.16670.66670.1667）T计算特征值：0.3000(6)6C对B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：6CABCA1553B15113C3531计算权向量(3)6w：(3)6w=（0.55560.11110.3333）T计算特征值：3.00005.C--B权向量进行一致性检验由第3层对于第2层的成对比较阵计算的权向量，最大特征值列入表3.表3：投资投资区域k123456(3)kw0.28330.32890.38780.40680.33900.25420.71420.14290.14290.09090.45450.45450.16670.66670.16670.55560.11110.3333(k)3.00003.00003.00003.00003.00003.0000（1）．1C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述(3)1w可以作为权向量。（2）．2C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述32w（）可以作为权向量。（3）．3C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述33w（）可以作为权向量。（4）．4C--B矩阵=3.00013.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述34w（）可以作为权向量。（5）．5C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述(3)5w可以作为权向量。（6）．6C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述36w（）可以作为权向量。6．计算组合权向量并作一致性检验（1）计算组合权向量本问题由各准则层对目标层的权向量(2)w和各方案对每一准则的权向量(3)kw（k=1,.....6）,计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作(3)w。对于方案A区，它在工资水平等6个准则中的权重用(3)kw的第1个分量表示（表2中(3)kw的第2行），而6个准则对于目标的权重又用权向量(2)w表示，第3层对第1层的组合权向量为：(3)w=(3)kw(2)w(5)所以B在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)12345600.21740.08700.28330.40680.71420.09090.16670.55560.1739,,,,,0.32900.3