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1.2.2空间中的平行关系第一课时平行直线直线与平面平行目标导航课标要求1.能用基本性质4和定理解决一些简单的相关问题.2.会判断直线与平面的位置关系.3.理解直线与平面平行的判定和性质,能运用定理证明一些空间位置关系的命题.素养达成通过平行直线、直线与平面平行的学习,锻炼了学生的逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象等核心素养的达成.新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相,用符号语言表示..2.定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应,并且,那么这两个角相等.平行若a∥b,c∥b,则a∥c平行方向相同3.空间四边形顺次连接不共面的四点所构成的图形,叫做.这四个点叫空间四边形的;所连接的相邻顶点间的线段叫空间四边形的;连接不相邻的顶点的线段叫空间四边形的.空间四边形顶点边对角线4.直线与平面的位置关系如果一条直线与一个平面有两个公共点,则.如果一条直线与一个平面只有一个公共点,则.如果一条直线与平面无公共点,则.5.直线与平面平行的判定定理如果的一条直线和的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.6.直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,,那么这条直线就和两平面的交线平行.这条直线在这个平面内直线与平面相交直线与平面平行不在一个平面内平面内经过这条直线的平面和这个平面相交【拓展延伸】1.直线与平面平行的判定方法(1)定义法:如果一条直线与平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行.(2)直线和平面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行,符号表示为:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.①在判定定理中,要特别注意“不在一个平面内的一条直线”这个条件,很容易忽略,如果缺少了这个条件,直线和平面将可能会有另外一种位置关系:直线在平面内.②这个定理告诉我们,今后要证明平面外一条直线与平面平行时,只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行,就可判定这条已知直线必与这个平面平行.③直线与平面平行的判定定理实质上是将直线与平面平行的判定转化成直线与直线平行的判定,这是立体几何中的一种常用方法,将线面平行的关系转化成线线平行的关系来处理.④根据定理,画一条直线与已知平面平行,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行.2.直线与平面平行的性质(1)定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.符号表示为:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.(2)直线与平面平行的性质定理的作用①作为证明线线平行的依据,当证明线线平行时,可以通过证明其中一条直线平行于一个平面,另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线,从而得到两直线平行.在空间中,经常应用这个定理,由“线面平行”去判定“线线平行”.②作为画一条直线与已知直线平行的依据,如果一条直线平行于一个平面,在平面内要画一条直线与已知直线平行,可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交,交线就是所要画的直线.③定理中有三个条件:①l∥α;②α∩β=m;③l⊂β.这三个条件缺一不可,否则将出现错误.自我检测1.已知:直线a平行于平面α,则直线a与平面α内的直线b的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)相交(D)异面或平行D解析:由定义知:直线与平面平行,则直线与平面无公共点,从而直线与平面内的直线无公共点,故选D.2.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()(A)OB∥O1B1且方向相同(B)OB∥O1B1(C)OB与O1B1不平行(D)OB与O1B1不一定平行D解析:因∠AOB与∠A1O1B1可以绕OA、O1A1转动,所以OB与O1B1不一定平行,故选D.3.在下列命题中正确命题的个数是()①若直线a平行于平面α,直线b⊂平面α,则a∥b;②如果点P是直线a上的点,且P∉平面α,那么a∥α;③一条直线和一个平面内的无数条直线都异面,则这条直线和这个平面平行;④过平面α外一点可作无数条直线和平面α平行.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①②③不正确,④正确.B4.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的一点,且四边形EFGH为菱形,若AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则AE∶BE=.解析:由线面平行的性质定理易证EF∥AC,EH∥BD.所以EFAC=BEBA,EHBD=AEAB,EF=EH.所以AE∶BE=(EHBD·AB)∶(EFAC·BA)=AC∶BD=m∶n.答案:m∶n类型一直线与平面平行的判定课堂探究·素养提升【例1】已知空间四边形ABCD,P,Q分别是△ABC和△BCD的重心.求证:PQ∥平面ACD.证明:如图所示,取BC的中点E.因为P是△ABC的重心,连接AE,所以AE过点P,且AE∶PE=3∶1.因为Q为△BCD的重心,连接DE,所以DE过点Q,且DE∶QE=3∶1,连接PQ,所以在△AED中,PQ∥AD.又AD⊂平面ACD,PQ⊄平面ACD,所以PQ∥平面ACD.方法技巧证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.首先要看是否有直接可用的平行线,若无,则考虑根据已知条件作出所需要的平行线,其口诀是“见分点连分点,找出平行线”,有时的分点是中点,通常考虑三角形中位线.变式训练1-1:如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:GH∥平面PAD.证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所以PA∥MO.而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以PA∥平面BMD.又因为PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.又PA⊂平面PAD,GH⊄平面PAD,所以GH∥平面PAD.类型二直线与平面平行的性质【例2】如图,四面体A-BCD被一平面所截,截面与四条棱AB,AC,CD,BD分别相交于E,F,G,H四点,且截面EFGH是一个平行四边形,求证:棱BC∥平面EFGH.证明:因为平面EFGH是平行四边形,所以EF∥GH,又EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF⊂平面ABC,且平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC,又BC⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH.所以BC∥平面EFGH.方法技巧已知线∥面,借助辅助平面得线∥线,有时线面难以找出联系,要作出辅助平面,实际证题时往往把线∥线⇒线∥面⇒线∥线反复使用才能达到证明的目标.变式训练2-1:已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面.证明:已知:直线a∥b,a∥α,且b⊄α,求证:b∥α.如图所示,过a及平面α内一点A作平面β.设β∩α=c,因为a∥α,所以a∥c.因为a∥b,所以b∥c.又因为b⊄α,c⊂α,所以b∥α.类型三直线与平面平行的综合运用【例3】求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.解:已知α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.证明:过a作平面γ交α于b,如图,因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=b,所以a∥b(直线和平面平行性质定理).同样,过a作平面δ交平面β于c,因为a∥β,所以a∥c(直线和平面平行性质定理),所以b∥c.又因为b⊄β,且c⊂β,所以b∥β.又因为平面α经过b交β于l,所以b∥l(直线和平面平行性质定理).因为a∥b,所以a∥l(公理4).方法技巧(1)本题多次应用线面平行的性质定理,揭示了线面平行与线线平行的内在联系与相互转化关系.为利用线面平行的性质,本题构造两个辅助面产生平面内的直线,起到转化的作用.(2)证明两条直线平行的方法:①利用平行线的定义;②利用平行关系的传递性;③利用直线与平面平行的性质定理;另外在同一平面内,可利用平面几何的方法来证明线线平行,如三角形中位线,平行线分线段成比例等.变式训练3-1:如图,设E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AEAB=AHAD=λ,CFCB=CGCD=μ.求证:(1)当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;(2)当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形.证明:在△ABD中,AEAB=AHAD=λ,所以EH∥BD且EH=λBD,在△CBD中,CFCB=CGCD=μ,所以FG∥BD,且FG=μBD,所以EH∥FG,所以顶点E,F,G,H在由EH和FG确定的平面内.(1)当λ=μ时,EH=FG,故四边形EFGH为平行四边形.(2)当λ≠μ时,EH≠FG,故四边形EFGH是梯形.