2012年全国中考数学压轴题分类定值问题

-1-2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题5：定值问题6.（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若4321，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．【答案】解：（1）作图如下：-2-（2）在图2中，22EFFGGHHE242025，∴四边形EFGH的周长为85。在图3中，22EFGH215，22FGHE364535，∴四边形EFGH的周长为2523585。猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，∵12，15，∴25。又∵FC=FC，∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。∴EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。∵M905901，N903，13，∴MN。∴GM=GN。过点G作GK⊥BC于K，则1KMMN82。∴2222GMGKKM4845。∴四边形EFGH的周长为2GM85。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出1KMMN82，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。7.（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.-3-（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=11=2。ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°），且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。故sin∠A=sin∠A=BCBCBE2R。（2）保持不变。理由如下：如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK=12AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK。∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。∴由（1）ii）sin∠A=BC2R可知sin60°=BCAP。∴AP=BC43sin603（为定值）。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三-4-角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E=BCBCBE2R，得出即可。（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A=BC2R，得出AP=BC43sin603（定值）即可。8.（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【答案】解：（1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。作AH⊥BC于H点，则BH=2，-5-22AECFABC11SSBCAHBCABBH4322四形边。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF221432323332。∴△CEF的面积的最大值是3。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF=60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。9.（2012四川成都12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数5y=x+m4(m为常数)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线2y=ax+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于111222MxyMxy，，，两点，试探究1212MPMPMM是否为定值，并写出探究过程．-6-【答案】解：（1）∵5y=x+m4经过点（﹣3，0），∴15x+m=04，解得15m=4。∴直线解析式为515y=x+44。令x=0，得15y=4。∴C（0，154）。∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0）。设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，154），∴154=a•3（﹣5），解得1a=4。∴抛物线解析式为y=14（x+3）（x﹣5），即21115y=x+x+424。（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF，如答图1。（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG。又∵∠COA=∠EOF=900，AC=EF，∴△CAO≌△EFG（AAS）。∴EG=CO=154，即yE=154。∴2EE151115=x+x+4424，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）。∴E（2，154），S▱ACEF=152。（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（1531+14，），S▱ACE′F′=1531+1054。（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。-7-如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。∵B（5，0），C（0，154），∴直线BC解析式为315y=x+44。∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）。令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，联立2ykx3k1115y=x+x+424得x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3。∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）。根据勾股定理得：M1M2=22222221212121212xx+yy=xx+kxx=1+kxx222221212=1+kx+x4xx=1+k24k44k3=41+k，M1P=22222211111x1+y3=x1+kx+3k3=1+kx1，M2P=22222222222x1+y3=x1+kx+3k3=1+kx1。∴M1P•M2P=222221212121+kx1x1=1+kxxx+x+1222=1+k4k324k+1=41+k∴M1P•M2P=M1M2。∴1212MPMPMM=1为定值。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，-8-平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）把点A的坐标代入5y=x+m4即可求出m的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3，y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，y1﹣y2=k（x1﹣x2）。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。