2012年全国高中数学联赛(湖北)赛区预赛试卷(高二)

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数741)(2xxxxf的值域为________________．2．已知1sin2sin322，1)cos(sin2)cos(sin322，则)(2cos_______________．3．已知数列}{na满足：1a为正整数，,,13,,21为奇数为偶数nnnnnaaaaa如果29321aaa，则1a．4．设集合}12,,3,2,1{S，},,{321aaaA是S的子集，且满足321aaa，523aa，那么满足条件的子集A的个数为．5．过原点O的直线l与椭圆C：)0(12222babyax交于NM,两点，P是椭圆C上异于NM,的任一点．若直线PNPM,的斜率之积为31，则椭圆C的离心率为_______________．6．在△ABC中，2BCAB，3AC．设O是△ABC的内心，若ACqABpAO，则qp的值为_______________．7．在长方体1111DCBAABCD中，已知pABCBAC11,2,1，则长方体的体积最大时，p为_______________．8．设][x表示不超过x的最大整数，则20121020122[]2kkk．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{na满足21211143nnnnnnnnnaaaaaaaaa且11a，28a，求}{na的通项公式．10．已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的取值范围．11．已知点),(nmE为抛物线)0(22ppxy内一定点，过E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于DCBA,,,，且NM,分别是线段CDAB,的中点．（1）当0n且121kk时，求△EMN的面积的最小值；（2）若21kk（,0为常数），证明：直线MN过定点．()2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数741)(2xxxxf的值域为6[0,]6．2．已知1sin2sin322，1)cos(sin2)cos(sin322，则)(2cos13．3．已知数列}{na满足：1a为正整数，,,13,,21为奇数为偶数nnnnnaaaaa如果29321aaa，则1a5．4．设集合}12,,3,2,1{S，},,{321aaaA是S的子集，且满足321aaa，523aa，那么满足条件的子集A的个数为185．5．过原点O的直线l与椭圆C：)0(12222babyax交于NM,两点，P是椭圆C上异于NM,的任一点．若直线PNPM,的斜率之积为31，则椭圆C的离心率为63．6．在△ABC中，2BCAB，3AC．设O是△ABC的内心，若ACqABpAO，则qp的值为32．7．在长方体1111DCBAABCD中，已知pABCBAC11,2,1，则长方体的体积最大时，p为2313．8．设][x表示不超过x的最大整数，则20121020122[]2kkk2012．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{na满足21211143nnnnnnnnnaaaaaaaaa且11a，28a，求}{na的通项公式．解在已知等式两边同时除以1nnaa，得3141112nnnnaaaa，所以211114(11)nnnnaaaa．------------------------------------------4分令111nnnaab,则nnbbb4,411，即数列}{nb是以1b＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nnnbb4411.------------------------------------------8分所以nnnaa4111,即nnnaa]1)14[(21.------------------------------------------12分于是，当1n时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(nnnnnnaaa112111121]1)14[(]1)14[(nkknkka，因此,.2,]1)14[(,1,11121nnankkn------------------------------------------16分10．已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的取值范围．解令cos,sinab，02，则322333)1sin(cos1)sinsincos)(cossin(cos)1sin(cos1sincosm．----------------------------------------5分令sincosx，则]2,1()4sin(2x，且21sincos2x．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332xxxxxxxxxxxxm．------------------------------15分因为函数21)1(23)(xxf在]2,1(上单调递减，所以)1()2(fmf．又2423)2(,41)1(ff，所以)41,2423[m．--------------------------------------20分11．已知点),(nmE为抛物线)0(22ppxy内一定点，过E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于DCBA,,,，且NM,分别是线段CDAB,的中点．（1）当0n且121kk时，求△EMN的面积的最小值；（2）若21kk（,0为常数），证明：直线MN过定点．解AB所在直线的方程为mnytx)(1，其中111kt，代入pxy22中，得2112220yptyptnpm，设1122(,),(,)AxyBxy，则有1212ptyy，从而1211211(2)2(22)2xxtyynmtptnm．则2111(,)Mptntmpt．CD所在直线的方程为mnytx)(2，其中221kt，同理可得2222(,)Nptntmpt．------------------------------------------5分（1）当0n时，(,0)Em，211(,)Mptmpt，222(,)Nptmpt，2111||||tptEM，2221||||tptEN．又121kk，故121tt，于是△EMN的面积22222212121211||||||(1)(1)2222pSEMENptttttt2242pp，当且仅当1||||21tt时等号成立．所以，△EMN的面积的最小值为2p.------------------------------------------10分（2）pnttttnttpttpkMN)(1)()()(2121222121，MN所在直线的方程为]([)(1121211mntptxpnttpty，即mxtptpntty2121)(．------------------------------------------15分又212111ttkk，即2121tttt，代入上式，得1212()ttnyttpxmp，即mpnyxpytt))((21．当0py时，有0mpnyx，即nmxpy为方程的一组解，所以直线MN恒过定点),(pnm．------------------------------------------20分