2012年全国高考文科数学试题及解析-大纲卷

三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合|Axx是平行四边形，|Bxx是矩形，|Cxx是正方形，|Dxx是菱形，则A．ABB．CBC．DCD．AD答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用。【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合C是最小的，集合A是最大的，故选答案B。2．函数1(1)yxx的反函数为A．21(0)yxxB．21(1)yxxC．21(0)yxxD．21(1)yxx答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x，再互换,xy得到结论，同时也考查了函数值域的求法。【解析】由22111yxxyxy，而1x，故0y互换,xy得到21(0)yxx，故选答案A3．若函数()sin(0,2)3xfx是偶函数，则A．2B．23C．32D．53答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。【解析】由()sin(0,2)3xfx为偶函数可知，y轴是函数()fx图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin13()3322fkkkZ，而0,2，故0k时，32，故选答案C。三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组4．已知为第二象限角，3sin5，则sin2A．2425B．1225C．1225D．2425答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。【解析】因为为第二象限角，故cos0，而3sin5，故24cos1sin5，所以24sin22sincos25，故选答案A。5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x，则该椭圆的方程为A．2211612xyB．221128xyC．22184xyD．221124xy答案C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,abc，从而得到椭圆的方程。【解析】因为242cc，由一条准线方程为4x可得该椭圆的焦点在x轴上县22448aacc，所以222844bac。故选答案C6．已知数列na的前n项和为nS，11a，12nnSa，则nSA．12nB．132nC．123nD．112n答案B【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。【解析】由12nnSa可知，当1n时得211122aS当2n时，有12nnSa①12nnSa②①－②可得122nnnaaa即132nnaa，故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为2113()22nna(1)(2)nn，三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组故当2n时，1113(1())3221()3212nnnS当1n时，11131()2S，故选答案B7．6名选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A．240种B．360种C．480种D．720种答案C【命题意图】本试题考查了排列问题的运用。利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论。【解析】甲先安排在除开始与结尾的位置还有14C个选择，剩余的元素与位置进行全排列有55A，故不同的演讲次序共有1545480CA种。8．已知正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，122CC，E为1CC的中点，则直线1AC与平面BED的距离为A．2B．3C．2D．1答案D【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。【解析】因为底面的边长为2，高为22，且连接,ACBD，得到交点为O，连接EO，1//EOAC，则点1C到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过点C作CHOE，则CH即为所求，在三角形OCE中，利用等面积法，可得1CH，故选答案D。9．ABC中，AB边的高为CD，若CBa，CAb，0ab，||1a，||2b，则ADA．1133abB．2233abC．3355abD．4455ab答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用。【解析】由0ab可得90ACB，故5AB，用等面积法求得255CD，所以455AD，故4444()5555ADABCBCAab，故选答案D10．已知12,FF为双曲线222xy的左，右焦点，点P在C上，12||2||PFPF，则12cosFPF三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组A．14B．35C．34D．45答案C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知，2,2abc，设12||2,||PFxPFx，则12||||222PFPFxa，故12||42,||22PFPF，124FF，利用余弦定理可得22222212121212(42)(22)43cos2422242PFPFFFFPFPFPF。11．已知lnx，5log2y，12ze，则A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx答案D【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。【解析】lnln1e，551log2log52，1211124zee，故选答案D。12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，13ABBF动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为A．8B．6C．4D．3答案B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。【解析】解：结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞8次即可。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．81()2xx的展开式中2x的系数为．答案7【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了n的值，然后进一步借助通项公式，得到项的系数。【解析】根据已知条件可得81()2xx展开式的通项公式为88218811()()22rrrrrrrTCxCxx，令8223rr，故所求2x的系数为3381()72C。三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组14．若函数1030330xyyxyxy，则3zxy的最小值为．答案：1【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1。]15．当函数sin3cos(02)yxxx取最大值时，x．答案：56【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。【解析】由sin3cos2sin()3yxxx由502333xx可知22sin()23x当且仅当332x即116x时取得最小值，32x时即56x取得最大值。16．已知正方形1111ABCDABCD中，,EF分别为1BB，1CC的中点，那么异面直线AE与1DF所成角的余弦值为．答案35【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题。【解析】首先根据已知条件，连接DF，则由1//DFAE可知1DFD或其补角为异面直线AE与1DF所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到115,2DFDFDD，再由余弦定理可得22211115543cos2255DFDFDDDFDDFDF。三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）ABC中，内角A．B．C成等差数列，其对边,,abc满足223bac，求A．【命题意图】：本试题主要考查了解三角形的运用。该试题从整体看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路比较容易想，先利用等差数列得到角B，然后利用正弦定理与三三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组角求解运算得到答案。【解析】由A．B．C成等差数列可得2BAC，而ABC，故33BB且23CA而由223bac与正弦定理可得2222sin3sinsin2sin3sin()sin33BACAA所以可得232223(sincoscossin)sin3cossinsin1433AAAAAA31cos21sin21sin(2)2262AAA，由27023666AA，故266A或5266A，于是可得到6A或2A。18．（本小题满分12分）已知数列na中，11a，前n项和23nnnSa．（Ⅰ）求23,aa；（Ⅱ）求na的通项公式．【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。解：（1）由11a与23nnnSa可得22122122333Saaaaa，3312331233224633Saaaaaaaa故所求23,aa的值分别为3,6。（2）当2n时，23nnnSa①1113nnnSa②①－②可得112133nnnnnnSSaa即1112111133331nnnnnnnannnnnaaaaaan故有21211211311212nnnnnaaannnnaaaaann而211112a，所以na的通项公式为22nnna三亚市第一中学数学组2012年6月三亚市第一中学数学组【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前n项和的关系式变形就可以得到结论。19．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC．（Ⅰ）证明：PC平面BED；（Ⅱ）设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。解：设ACBDO,以O为原点，OC为x轴，OD为y轴建