2011数值分析B答案

《数值分析》试卷第1页4页《数值分析》答案开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器入场题序一二三总分得分评卷人一、填空题（共30分，每空3分）1.要使得31的近似值的绝对误差小于410至少要取5位有效数字.如果要使得相对误差小于410，则至少要取5位有效数字。2.用Newton迭代法求解方程13xx可得到迭代公式nnnnnnxxxxxx63432231。3.已知矩阵6120310910A，则用Jacobi迭代法求解线性方程组bAx得到的迭代矩阵为9/115/206/110/102/110/30。该迭代法能收敛吗？答：能。4.设x是线性方程组bAx的数值解，其中系数矩阵A非奇异。已知条件数100)(Acond，残差的范数4.123||||r，10||||b。则x的相对误差限为12.34。5.SOR迭代收敛的必要条件是)2,0(w_____________________…姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………得分《数值分析》试卷第2页4页6．矩阵532362221A的谱半径)(A是9.48,cond(A)222.67,平方根分解中的矩阵L=2222022001二、计算题（共7０分）1.（12分）以下三种迭代方法都用于计算21，假设40x，分析每种方法的收敛性并指出收敛速度最快的迭代方法。（1）121nnxx；（2）112121nnnxxx；（3）21221121nnnxxx解：（1）迭代点列为,...}3,1,3,1{，故发散。（2分）（2）xxx321)(，13121)(2'xx，故xxx321)(是一个压缩映射，迭代法收敛。0)3('，所以该迭代法具有超线性收敛。（8分）（3）3)(2xxx，12)('xx，1)3('，故发散。（10分）所以收敛最快的迭代法为（2）。（12分）2.下述矩阵能否进行LU分解?若能,写出L,U矩阵,并计算能分解矩阵的1范数,范数(1)764142321A(2)461561552621B解:(1)不能分解.因为02D（3分）(2)能分解.因为0,1,1321DDD.（5分）136012001L,100310621U1B67,67B（10分）得分姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………《数值分析》试卷第3页4页3.（15分）(1)已知有1n个插值节点nxxx,...,,10，)(xli表示第i),...,1,0(ni个节点的Lagrange插值基函数，证明：1)(0niixl。(2)已知插值节点A(1,0),B(3,2),C(4,15),D(7,12)。构造差商表，利用牛顿插值求通过这些插值节点的插值多项式。证明：(1)不妨设函数)(x是过nixi,...,1,0),1,(的不超过n次的Lagrange插值多项式，则)(x是唯一的，且可写为niixlx0)()(。（3分）因为1)(x显然满足所有插值条件，且次数不超过n次，故1)(0niixl。证毕。（7分）(2)：差商表如下：ixiy一阶差商二阶差商三阶差商1014-1.253213-3.5415-1712（10）故牛顿插值多项式为)4)(3)(1(25.1)3)(1(4)1(0)(xxxxxxxN2675.381425.123xxx（15分）4（10分）给定线性方程组321122111221321xxx写出求解该方程组的Jacobi迭代的分量格式,并分析Jacobi迭代的收敛性.解：kkkxxx2111221，,22112kkkxxx姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………《数值分析》试卷第4页4页.2232113kkkxxx（5分）迭代矩阵为022101220J，特征值为０为三重根．所以1)(J，收敛（10分）５．（13分）应用牛顿法于方程,03ax导出其迭代公式,并讨论其收敛速度.解:f(x)=ax3,2'3)(xxf,（2分）牛顿迭代公式为:)()('1kkkkxfxfxx既有2313kkkkxaxxx,1,0,32231kxaxxkkk,（7分）当3,0aa为f(x)的单根,此时牛顿法在根附近是平方收敛的.（10分）当a=0,迭代公式为kkxx321（13分）6．（10分）设A为正交矩阵，B=2I-A,I为单位矩阵。证明：求解线性方程组bBxBT的高斯-塞德尔迭代法收敛。证：A为正交矩阵，则IAAT。设为A的任意一特征值，则1||矩阵的特征值为2B。所以0B。（5分）B非奇异。所以矩阵BBT为对称正定的。所以高斯-塞德尔迭代法收敛。（10分）