2011数值分析复习题

2011数值分析复习题第一章引论数值计算的误差误差与有效数字有效数字的定义有效数字与误差之间的关系绝对误差、相对误差第一章引论避免误差危害的若干原则避免相近数相减、用绝对值很小的数做除数、注意运算次序和减少运算次数。如何避免有理化、三角函数变换、小数优先运算。。。。。。第二章插值法插值问题的提出：满足插值条件P(xi)=yi的简单函数P(x)为f(x)的插值函数。插值多项式-满足插值条件的插值多项式是存在唯一的。通过已知节点，插值多项式的求解。拉格朗日插值多项式及其余项牛顿插值多项式均差（差商），均差的性质及应用（对称性、n阶均差与导数的关系)，牛顿插值多项式的构造。第三章函数逼近的基本概念曲线拟合的最小二乘法已知一组实验数据，求它的拟合曲线。线性化建立法方程组求解未知变量给出拟合曲线函数第四章数值积分与数值微分数值积分的基本思想代数精度牛顿-科特斯公式等距离节点的求积公式n=1梯形公式代数精度为1n=2Simpson公式代数精度为3n=4Cotes公式代数精度为5偶阶求积公式的代数精度第四章数值积分与数值微分复合求积公式复合梯形公式及其余项的误差估计n等分，n+1个点h=(b-a)/n复合辛普森公式及其余项的误差估计n等分,2n+1个点h=(b-a)/n高斯求积公式定义：求积公式具有2n+1次代数精度，则其节点为高斯点，相应公式为高斯型求积公式。第五章解线性方程组的直接方法高斯消去法矩阵的三角分解TH7矩阵的LU分解，A的顺序主子式全都不为零，则A可以分解为L与U的乘积，且这种分解是唯一的。Ax=bLUx=bLy=byUx=yx方法：1、公式求解未知的LU，2、可以使用紧凑格式分解第五章解线性方程组的直接方法向量和矩阵的范数向量范数及矩阵范数的定义，常见的向量范数与矩阵范数（1、2、最大范数）、谱半径。误差分析条件数第六章解线性方程组的迭代法Ax=bx=Bx+f雅克比迭代法与高斯-赛德尔迭代法A=D-L-U迭代法的求解公式，收敛条件TH7求解线性方程组迭代法收敛的充要条件TH8A为严格对角占优矩阵，则两种迭代法均收敛。谱半径越小收敛速度越快。SOR迭代法以及SOR迭代法收敛的必要条件。第七章非线性方程与方程组的数值解法二分法、二分法二分的次数与预定精度之间的关系。不动点迭代法-什么情况下发散，什么情况下收敛。TH1不动点迭代的存在唯一性以及收敛的条件。TH2误差的估计局部收敛性与收敛阶简单迭代法-线性收敛牛顿迭代法、牛顿迭代法的收敛阶用于求单根时为线性收敛，用于求重根时为至少二阶收敛。简单迭代法的收敛阶是线性收敛。弦截法的收敛阶小于牛顿迭代法大于简单迭代法。第九章常微分方程初值问题数值解法欧拉法与后退欧拉法梯形方法改进欧拉公式局部截断误差（上述几种方法）与阶、局部截断误差主项龙格-库塔方法（泰勒展开式）单步法的收敛性--整体截断误差例1.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式x=1,2,3,4,5,6y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50方案一：设baxxxPy+=)(求a和b使得线性化/*linearization*/：令，则xXyY1,1==bXaY+就是个线性问题将化为后易解a和b。),(iiYX),(iiyxX=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6Y=1/4.00,1/6.40,1/8.00,1/8.80,1/9.22,1/9.50m=61)(0=x1()xX=001(,)1*16mi===011(,)2.45miiX===111(,)1.4913miiiXX===01(,)10.8586miifY===11(,)0.4374miiifXY===法方程组为62.452.451.4913ab0.85860.4374=求解出a与b方案二：设xbeaxPy/)(-=(a0,b0)线性化：由可做变换xbay-lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyxxbAeaxPBbea/)(,,-=-==例用复化Simpson公式计算积分的近似值，并估计误差。（n=5,共11个节点）101dxIx=+解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为010110.,,,,ixii==则复化Simpson公式为11111121011102104106108026444444101103105107109..........I+++++++++++++++++++++010.20.40.60.80.10.30.50.70.9截断误差估计：444501454542424121001241310180180()()[,](),max()()()(/)()..xfxmfxxbahmR-===+--=1052083333071429062500055560033334090909076923066667058824052632(.)(....).(.....)++++++++++003333207945069315...==1)0(,2=-=yyxyy5.00x)1.0=h用改进欧拉公式求方程的数值解（，步长nnnyxyk21-=11122hkyxhkyknnn+-+=+,1,0),(2211=++=+nkkhyynn，，xnyn0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.4164在计算时,迭代终止的时间可以用上式判别例.判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛=-111122111221321xxx解:(1)求Jacobi法的迭代矩阵)(1ULDBJ+=-=100010001-----022101220-----=022101220,1JJBB的几种常用算子范数显然)det(JBI--=221122det3=0=所以0=|)max(|)(=JB0=1即Jaobi迭代法收敛(2)求Gauss-Seidel法的迭代矩阵ULDBG1)(--=1122011001-=--000100220=GB--2003202200=2=|)max(|)(=GB2=1所以Gauss-Seidel迭代法发散说明G-S法发散时而J法却收敛因此,不能说G-S法比J法更好例：已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商公式求的近似值。ix149ix1231[,]iifxx+2103333341.-=-320294.-=-12[,,]iiifxxx++0203333300166791...-=--7解：从而得二阶牛顿基本差商公式为21033333100166714().().()()Pxxxx=+----27269992()..P=因此计算得的近似值为73210xx--=例：用迭代法求解方程321+=xx将原方程化为等价方程00=x30121+=xx取初值321=7937.031221+=xx327937.1=9644.0x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为0000.1=x123123142521831520100123210014.3510024(14,18,20)(14,10,72),(14,10,72)(1,2,3).TTTTxxxALULyyUxx==-=--==--=--=例：用直角三角分解法解解：用分解计算公式得求解2426496152691861518409232247用LU直接三角分解法求解方程组AX=b其中A=b=12341242621123121363321119212312122332147(9,5,3,1)(0.5,2,3,1)TTAyyLYbyyYUXYX====-==-求解即得求解得