数列的通项公式的求法以及典型习题练习

1数列解题方法与学习顺序第一累加法1．适用于：1()nnaafn----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。练习1.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn练习2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：裂项求和nan12累乘法二、累乘法1.适用于：1()nnafna----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，2两边分别相乘得，1111()nnkaafka例3已知数列1.1nnaann，21a，求数列的通项公式。例4已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。例5.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________.三、待定系数法适用于1()nnaqafn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann.3规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为c的等比数列}1{cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dcaann1中把n换成n-1有dcaann1,两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为c的等比数列}{1nnaa,进而求得通项公式.)(121aacaannn,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。例7已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。例8在数列}{na中，,23,111naaann求通项na.（逐项相减法）例9.在数列{}na中，362,2311naaann,求通项na.（待定系数法）例10已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。例11已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例12已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。4例13已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna练习1．已知数列{}na满足*12211,2,441()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项