2012年北京中考试题精选__海淀一模数学试题含答案)

数学试卷第页（共6页）123．已知关于x的方程03)13(2xmmx.（1）求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根；（2）若抛物线2313ymxmx与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P),(11yx与Q),(21ynx在（2）中抛物线上(点P、Q不重合),且y1=y2,求代数式81651242121nnnxx的值.24．在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上,当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.图1图225.已知抛物线2yxbxc的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B.（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且3ABMS,求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D.将抛物线2yxbxc平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.MBDCFEANPPNAEFCDBABAPOxyPyxO数学试卷第页（共6页）23海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2012.05说明:与参考答案不同,但解答正确相应给分.一、选择题（本题共32分，每小题4分）1.A2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.3x10.)2)(2(xxx11.612．1129933(,);5()4,()4422nn（每空2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分）13．解：10)31(45sin28π)14.3(=2122232……………………………………………………………4分=42.……………………………………………………………5分14．解：由不等式①解得2x,…………………………………………………………2分由不等式②解得3x.…………………………………………………4分因此不等式组的解集为23x.………………………………………………5分15．证明：∵AC//EF，∴ACBDFE．………………………………………………………1分在△ABC和△DEF中，,,,EFBCDFEACBDFAC∴△ABC≌△DEF．…………………………………………………4分∴AB=DE．…………………………………………………5分16.解:法一：∵byax,是方程组12,32yxyx的解,∴.12,32baba…………………………………………………2分解得1,1.ab…………………………………………………4分∴4()(4)541(11)141158aabbab.………………5分法二：∵byax,是方程组12,32yxyx的解,ABCDEF4∴.12,32baba………………………………………2分2222444545(2)(2)5aababbababab原式.…4分123,2baba将代入上式,得.85135)2)(2(baba原式……………………………5分17．解：（1）∵点A（,3m）在反比例函数xy3的图象上，∴m33.∴1m．……………………………………………1分∴点A的坐标为A（-1,-3）.……………………………………2分∵点A在一次函数ykx的图象上，∴3k.∴一次函数的解析式为y=3x.………………………………………3分（2）点P的坐标为P(1,3)或P(-3,-9).（每解各1分）……………5分18．解：设现在平均每天植树x棵.………………………………………………1分依题意,得60045050xx.……………………………………………………2分解得：200x.…………………………………………………3分经检验，200x是原方程的解，且符合题意.…………………………………4分答：现在平均每天植树200棵.………………………………………………5分四、解答题（本题共20分,每小题5分）19．解:∵ABC=90，AE=CE，EB=12，∴EB=AE=CE=12.……………………1分∴AC=AE+CE=24.∵在Rt△ABC中，CAB=30,∴BC=12,cos30123ABAC.……………………2分∵DEAC，AE=CE，∴AD=DC．………………………………………………3分在Rt△ADE中，由勾股定理得AD=222212513AEDE．…………4分∴DC=13.∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+123．……………………5分20.（1）证明：连结BD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°.∴∠1+∠D=90°.∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，∴∠D=∠BAE.…………………………1分F1OABCDEEDCBA5∴∠1+∠BAE=90°.即∠DAE=90°.∵AD是⊙O的直径，∴直线AE是⊙O的切线.………………………………………2分（2）解:过点B作BF⊥AE于点F,则∠BFE=90.∵EB=AB,∴∠E=∠BAE,EF=12AE=12×24=12.∵∠BFE=90,4cos5E,∴512cos4EFEBE=15.………………………………………3分∴AB=15.由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE,∴∠D=∠E.∵∠ABD=90,∴54cosADBDD.……………………………………………4分设BD=4k，则AD＝5k.在Rt△ABD中,由勾股定理得AB＝22ADBD=3k,可求得k=5.∴.25AD∴⊙O的半径为252.……………………………………………………………5分21.解：（1）290-(85+80+65)=60(万元).补图(略)………………………………1分（2）8523%=19.5519.6(万元).所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元.…………………………3分（3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是6018%10.8（万元）,4月份音乐手机的销售额是6517%11.05（万元）.…………………4分而10.811.05,因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.………5分22.解：△BCE的面积等于2.…………1分（1）如图（答案不唯一）：……2分以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM.…………3分（2）以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3．…………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）当m=0时，原方程化为,03x此时方程有实数根x=-3.…………1分当m0时，原方程为一元二次方程.∵222311296131mmmmm0.∴此时方程有两个实数根.………………………2分综上,不论m为任何实数时,方程03)13(2xmmx总有实数根.EDCBAGHI6（2）∵令y=0,则mx2+(3m+1)x+3=0.解得13x，21xm.……………………………………3分∵抛物线2313ymxmx与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴1m.∴抛物线的解析式为243yxx.…………………………4分（3）法一：∵点P),(11yx与Q),(21ynx在抛物线上,∴2211121143,()4()3yxxyxnxn.∵,21yy∴22111143()4()3xxxnxn.可得04221nnnx.即0)42(1nxn.∵点P,Q不重合,∴n0.∴124xn.…………………………………5分∴222211114125168(2)265168xxnnnxxnnn22(4)6(4)516824.nnnnn…………………………7分法二：∵243yxx=(x+2)2-1，∴抛物线的对称轴为直线x=-2.∵点P),(11yx与Q),(21ynx在抛物线上,点P,Q不重合,且,21yy∴点P,Q关于直线x=-2对称.∴112.2xxn∴124xn.……………………………………5分下同法一.24.解:（1）NP=MN,∠ABD+∠MNP=180(或其它变式及文字叙述,各1分).…2分（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).证明：如图,分别连接BE、CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC.∵∠A=∠DBC，M1324PNAEFCDB7∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.①………………………3分∵∠EDF=∠ABD,∴∠EDF=∠BDC.∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.即∠BDE=∠CDF.②又DE=DF，③由①②③得△BDE≌△CDF.…………………………………………4分∴EB=FC,∠1=∠2.∵N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB,NP=EB21.同理可得MN∥FC，MN=FC21.∴NP=NM.………………………………………………5分∵NP∥EB,∴∠NPC=∠4.∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.∵MN∥FC，∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.∴∠ABD+∠MNP=180.…………………………………7分25.解：（1）依题意,112b,解得b=-2.将b=-2及点B(3,6)的坐标代入抛物线解析式2yxbxc得26323c.解得c=3.所以抛物线的解析式为322xxy.………………………1分（2）∵抛物线322xxy与y轴交于点A，∴A(0,3).∵B(3,6),可得直线AB的解析式为3yx.设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，322xx），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N,则N(x,x+3).(如图1)∴132ABMAMNBMNBASSSMNxx.…………2分∴21323332xxx.解得121,2xx.∴点M的坐标为(1,2)或(2,3).…………4分NMBAPyxO8（3）如图2，由PA=PO,OA=c,可得2cPD.∵抛物线cbxxy2的顶点坐标为)44,2(2bcbP,图1∴2442cbc.∴22bc.………………………………………………………5分∴抛物线2221bbxxy,A（0，212b），P（12b，214b）,D（12b，0）.可得直线OP的解析式为12ybx.∵点B是抛物线2212yxbxb与直线12ybx的图象的交点，令221122bxxbxb.解得12,2bxbx.图2可得点B的坐标为（-b，212b）.………………………6分由平移后的抛物线经过点A,可设平移后的抛物线解析式为2212yxmxb.将点D(12b，0)的坐标代入2212yxmxb，得32mb.∴平移后的抛物线解析式为223122yxbxb.令y=0,即2231022xbxb.解得121,2xbxb.