2012年北京高考试题(文数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（[e-mail]）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合320AxRx，(1)(3)0BxRxx，则AB=()A．(,1)B．2(1,)3C．2(,3)3D．(3,)2.在复平面内，复数103ii对应的点坐标为（）A．（1,3）B．（3,1）C．(1,3）D．31（，）3.设不等式组0202xy表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．4B．22C．6D．444.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．165.函数121()()2xfxx的零点个数为（）A．0B．1C．2D．36.已知{}na为等比数列.下面结论中正确的是（）A．1322aaaB．2221322aaaC．若13aa，则12aaD．若31aa，则42aa7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．2865B．3065C．56125D．601258.某棵果树前n年得总产量nS与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（）A．5B．C．9D．11k=0,S=1k3开始结束是否k=k+1输出SS=S·2k（第4题图）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.直线yx被圆22(2)4xy截得的弦长为.10.已知{}na为等差数列，nS为其前n项和.若112a，23Sa，则2a；nS=.11.在△ABC中，若3a，3b，3A，则C的大小为.12.已知函数()lgfxx，若()1fab，则22()()fafb.13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为.14.已知()(2)(3)fxmxmxm，()22xgx.若,()0xRfx或()0gx，则m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题13分）已知函数(sincos)sin2()sinxxxfxx.（1）求()fx的定义域及最小正周期；（2）求()fx的单调递减区间.16.（本小题14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AC，AB上的中点，点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.（1）求证：DE∥平面A1CB;（2）求证：A1F⊥BE;（3）线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,abc，其中0a，600abc.当数据,,abc的方差2S最大时，写出,,abc的值（结论不要求证明），并求此时2S的值.（注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为12,,nxxx的平均数）18.（本小题13分）已知函数2()1fxax（0a），3()gxxbx.（1）若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求,ab的值；（2）当3,9ab时，求函数()()fxgx在区间[,2]k上的最大值为28，求k的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆C:22221(0)xyabab的一个顶点为(2,0)A，离心率为22.直线(1ykx）与椭圆C交于不同的两点M,N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN得面积为103时，求k的值.20.（本小题13分）设A是如下形式的2行3列的数表，abcdef满足：性质P：,,,,,[1,1]abcdef，且0++++=abcdef.记()irA为A的第i行各数之和1,2=i（），()jcA为A的第j列各数之和1,2,3=j（）；记()kA为1|()|rA，2|()|rA，1|()|cA，2|()|cA，3|()|cA中的最小值.（1）对如下数表A,求()kA的值；11-0.80.1-0.3-1（2）设数表A形如11-1-2ddd-1其中0-1d.求()kA的最大值；（3）对所以满足性质P的2行3列的数表A,求()kA的最大值。参考答案一、选择题1．【答案】D【解析】2|3Axx，利用二次不等式的解法可得|31Bxxx或，画出数轴易得|3Axx。【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。2．【答案】A【解析】1010(3)133(3)(3)iiiiiii，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。3．【答案】D【解析】题目中0202xy表示的区域表示正方形区域，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p，故选D【考点定位】本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。4．【答案】C【解析】0,11,12,23,8ksksksks，循环结束，输出的S为8，故选C【考点定位】本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。5．【答案】B【解析】函数121()()2xfxx的零点，即令()0fx，根据此题可得121()2xx，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B。【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图像问题，该题涉及到图像幂函数和指数函数。6．【答案】B【解析】当10,0aq时，可知1320,0,0aaa，所以A选项错误；当1q时，C选项错误；当0q时，323142aaaqaqaa，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。7．【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65SSSS后右左底，因此该几何体表面积3065S，故选B。【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。8．【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。【考点定位】本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着n的增大，nS变化超过平均值的加入，随着n增大，nS变化不足平均值，故舍去。9．【答案】22【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为2l，圆心到直线的距离22221(1)d，以及圆半径2r构成了一个直角三角形，因此2222()4228222lrdll。【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识，由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆，对于二生来说，可能能些陌生，直线与圆相交求弦长，利用直角三角形解题，也并非难题。10．【答案】1，1(1)4nn【解析】23Sa，所以111211212aadaddaad，1(1)4nSnn。【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前n项和公式的计算。11．【答案】2【解析】222cos232bcaAcbc，而sinsincaCA，故sin12CC。【考点定位】本小题主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案。12．【答案】2【解析】()lg,()1fxxfab，lg()1ab2222()()lglg2lg()2fafbabab【考点定位】本小题考查的是对数函数，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉。13．【答案】1；1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cosDECBDEDADEDA，可知||cos||DEDA，因此2||1DECBDA；||||cos||cosDEDCDEDCDE，而||cosDE就是向量DE在DC边上的射影，要想让DEDC最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为||DC，所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法。14．【答案】(4,0)【解析】首先看()22xgx没有参数，从()22xgx入手，显然1x时，()0gx，1x时，()0gx，而对,()0xRfx或()0gx成立即可，故只要1x时，()0fx（*）恒成立即可。当0m时，()0fx，不符合（*），所以舍去；当0m时，由()(2)(3)0fxmxmxm得32mxm，并不对1x成立，舍去；当0m时，由()(2)(3)0fxmxmxm，注意20,1mx，故20xm，所以30xm，即(3)mx，又1x，故(3)(,4]x，所以4m，又0m，故(4,0)m，综上，m的取值范围是(4,0)。【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像的开口，根的大小，涉及到指数函数，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论的思想，对m进行讨论。15．【考点定位】本题考查三角函数，三角函数难度较低，此类型题平时的练习中练习得较多，考生应该觉得非常容易入手。解：（1）由sin0x得,()xkkZ，故()fx的定义域为{|,}xRxkkZ.因为(sincos)sin2()sinxxxfxx=2cos(sincos)xxx=sin2cos21xx=2sin(2)14x,所以()fx的最小正周期22T.（2）函数sinyx的单调递减区间为3[2,2]()22kkkZ.由3222,()242kxkxkkZ得37,()88kxkkZ所以()fx的单调递减区间为37[],()88kxkkZ.16．【考点定位】本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥C