2012-2013-2复变函数A试卷及答案A

2012－20132复变函数A（A卷）数理学院王琳自动化学院相关专业牟丽君（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、选择题（3分×5＝15分）1．复数13zi的三角形式为________.A.2(cossin)33iB.442(cossin)33iC.222(cossin)33iD.552(cossin)33i2．根式31的值之一是________.A．i2321B．223iC．223iD．i23213．下列积分之值不等于0的是________.A．1132zdzzÑB．1112zdzzÑC．21124zdzzzÑD．11coszdzzÑ4．0z是函数sinzz的.A．可去奇点B．本性奇点C．极点D．非孤立奇点5．设函数()ftt在拉普拉斯变换下的像为21s，则2tte在拉普拉斯变换下的像为.A．32(2)sB．12sC．21(2)sD．21(2)s课程考试试题学期学年拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:二、填空题（3分×5＝15分）1．(13)iie的虚部是_______．2．幂级数0(12)nnniz的收敛半径为.3．设3sin()zzfzz，则Re[(),0]sfz=.4．(5)Ln=________________.5．设151()()(2)fzziz，则Re[(),]sfz=.三、判断题（2分×5＝10分）1．当复数0z时，其模为零，辐角也为零．（）2．复数项级数201(1)ninn发散．（）3．若()fz在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C，()0Cfzdz．（）4．如果0z是()fz的奇点，则()fz在0z不可导．（）5．函数30()00tetftt在傅里叶变换下的像为13i．（）四、计算题（10分×6＝60分）1．讨论函数2()()fzz的可导性和解析性．2．求方程4160zi的所有的根．3．求3()(1)(2)fzzz在圆环域12z内的洛朗展开式．4．设C为正向圆周||3z，计算积分2(1)zCedzzz．2007－2008学年一学期复变函数试题标准答案拟题学院（系）：数理学院适用专业：自动化学院各专业2012－2013学年第2学期复变函数A（A卷）试题标准答案5．利用留数求积分2cos28xxdxxx．6．求一个解析函数()fz，使其虚部为22(,)22vxyxyx且满足条件(0)1f．（答案要注明各个要点的评分标准）一、选择题（3分*5=15分）1．D2．A3．B4．A5．C二、填空：（3分*5=15分）1．3sin1e2．553．04．ln5(2),ikk5．0三、判断题(2分*5=10分)1．错2．对3．错4．错5．错四、计算题（10分*6=60分）1、解：2222()()()2fzzxiyxyxyi，定义域为整个复平面由已知22(,),(,)2uxyxyvxyxy（3分）而2,22,2uvxxxyuvyyyx（5分）拟题人：王琳书写标准答案人：王琳若函数可导须满足柯西黎曼方程,uvuvxyyx（7分）即22,2(2)xxyy所以函数仅在(0,0)点可导。（8分）但在整个复平面不解析.（10分）2、解：因为416zi，而1616(cos())sin())22ii（2分）所以44arg(16)2arg(16)21616(cossin)44ikikziii（6分）22222(cossin),0,1,2,344kkik（10分）3、解：因为311()(1)(2)12fzzzzz（2分）在12z内，可知11z12z（3分）因为1001111111(1)nnnnzzzzzz（6分）1001111(1)(1)2222212nnnnnnnnzzzz（9分）所以110031()(1)(1)(2)2nnnnnnzfzzzz（10分）4、解：由于2()(1)zefzzz的1级极点0z，2级极点1z都在3z内（2分）所以分别以0,1z为圆心，以14为半径做两个小圆周，分别记作12,CC由复合闭路原理122222(1)(1)(1)zzzzCCeeedzdzdzzzzzzz（4分）112220(1)22(1)(1)zzzCCzeeezdzdziizzzz（6分）222212()0(1)(1)zzzCCzeeezdzdzizzzz（8分）故2202(1)zCedziizz（10分）5、解：2cos28xxdxxx2()28zRzzz的孤立奇点为17,17zizi，其中位于上半平面的奇点是17zi且为一级极点（3分）228ixxedxxx=2Re[(),17]izisRzei=(17)1772(17)227iziizizeiiez（6分）=77(17)(cos1sin1)7eii（8分）所以原积分=77(cos17sin1)7e（10分）6、解：41vxx，4vyy由C-R方程：,uvuvxyyx知4uyx（3分）两边对x求积分得44()uydxxygy（5分）又由(41)uvxyx得4()41xgyx即()1gy所以()gyyC4uxyyC，其中C为实常数。（7分）所以解析函数22()(,)(,)4(22)fzuxyivxyxyyCixyx22izizC（9分）再由(0)1f可得1C，所以2()21fziziz（10分）