菱形的性质及判定

13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page1of7菱形的性质及判定知识点A要求B要求Ｃ要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。重、难点知识点睛中考要求13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page2of7板块一、菱形的性质【例1】☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离16cmABBC，则1度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD中，60A，E、F分别是AB、AD的中点，若2EF，则菱形ABCD的边长是______．【例3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，证明：AB与EF互相平分．PHFEDCBA【例4】☆如图1所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．图1HODCBAEFDBCA例题精讲13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page3of7【巩固】☆如图，已知菱形ABCD的对角线8cm4cmACBDDEBC，，于点E，则DE的长为【例5】☆菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD中，6AC，8BD，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8图2DCBA【巩固】如图3，在菱形ABCD中，110A，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC（）A．35B．45C．50D．55图3EDPCFBA【例6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30B．30或45C．45或60D．30或60【巩固】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AEBC，AFCD，那么EAF等于．【巩固】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cmB．220cmC．240cmD．280cm图1DCBA【例7】☆已知菱形ABCD的两条对角线ACBD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page4of7图2ODCBA【例9】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AEAFEFAB，求C的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【例11】☆如图，在ABC中，BD平分ABC，BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，求证：四边形BEDF是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.ODEFCAB【例12】如图，在梯形纸片ABCD中，//ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE.求证：四边形CDCE是菱形．C'DCBAE13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page5of7【例13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，证明：AB与EF互相平分ABCDEFPPFEDCBA【巩固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC．若60B，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．GFEDCBA【例14】如图，在ABC中，ABAC，M是BC的中点．分别作MDAB于D，MEAC于E，DFAC于F，EGAB于G．DFEG、相交于点P．求证：四边形DMEP是菱形．PMFEDGCBA【例15】如图，ABC中，90ACB，AD是BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形．HFDECBA【巩固】☆如图，M是矩形ABCD内的任意一点，将MAB沿AD方向平移，使AB与DC重合，点M移动到点'M的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MDMCMM，，，试说明四边形'MDMC的对角线互相垂直，且长度分别等于ABAD，的长；⑶当M在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDMC是菱形？为什么？13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page6of7M'MDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰ABC△中，ABAC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB∥，分别交AC、BC于E、F点，作PMAC∥，交AB于M点，连结ME.⑴求证四边形AEPM为菱形⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？MPFABCDE1.菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD中，4ABaE，在BC上，2120BEaBADP，，点在BD上，则PEPC的最小值为EPDCBA3.已知菱形的一个内角为60，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且60BEAF，18BAE．求：CEF的度数．FEDCBA5.如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE．当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．课后练习13.1.3菱形的性质和判定讲义·学生版page7of7EDCBA6.如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形．已知ABAC．⑴顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵当BAC为度时，四边形ADFE为正方形．FEDCBA7.如图，已知BE、CF分别为ABC中B、C的平分线，AMBE于M，ANCF于N，求证：MNBC∥．NMEFCBA