2013-2014高等代数1期末考试试卷(A卷)

1装订线2013学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列关于多项式理论的说法中正确的是().A.零多项式整除任意多项式B.零多项式不整除零多项式C.零多项式只能整除零多项式D.零多项式的次数为零2.设有n维向量组（I）：r,,,21和（II）：)(,,,21rmm，则().A.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性无关B.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性相关C.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性相关D.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性无关3.设A为nm矩阵，齐次线性方程组0Ax仅有零解的充要条件是().A.A的列向量线性相关B.A的列向量线性无关C.A的行向量线性相关D.A的行向量线性无关4.设,AB为n级方阵，0A，且0AB，则有().A.0A或0BB.0BAC.222()ABABD.0B5.设A和B都是n级实对称矩阵,通过非退化线性替换能将实二次型12(,,,)TnfxxxXAXL化为实二次型12(,,,)TngyyyYBY的充分必要条件是().A.A与B具有相同的秩B.A与B具有相同的符号差C.A与B具有相同的正惯性指数D.A与B具有相同的负惯性指数,并且A与B具有相同的符号差二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设四级行列式D的第四列元素分别为1,0,2,3，且它们对应的余子式分别为2,3,1,2，则D=__________.2.设向量组123(,1,1),(0,2,3),(1,0,1)k线性相关，则k__________.得分得分23.设A为n级方阵,且满足2240AAE,这里E表示n级单位矩阵,那么1A.4.已知矩阵方程100021(1,2,3)011X,则X＝_________________.5.若222,,2332fxyzxyzyz是正定二次型，则的取值范围是_________________.三、判别题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1.（）有理数域为最小的数域.2.（）设,AB是两个n级方阵，则ABBA.3.（）若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.4.（）若矩阵A的所有1r级子式全为零，则A的秩为r.5.（）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性.四、解答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1.设43232()421659,()254,fxxxxxgxxxx求(),()fxgx.得分得分1.5CM1.5CM3装订线2.计算行列式1111111111111111xxxx.3.求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.44.讨论k取何值时，线性方程组12312321231,21,xxkxxxxxkxxk(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解，并求出此方程组的通解.5.作非退化线性替换XCY化实二次型221231223(,,)4fxxxxxxx为规范形.5装订线五、证明题（本大题共4小题，共25分）1.（（本小题7分）证明：n维向量组12,,,n线性无关的充要条件是任一n维向量都可由12,,,n线性表出.2.（本小题6分）设A是n级方阵且0A，证明：存在一个非零矩阵B使得ABO.3.（本小题6分）设A是n级方阵且0A，B是nm矩阵，证明:RABRB.得分1.5CM64.（本小题6分）设1122,AOBOABOAOB.证明：如果1A与1B合同，2A与2B合同，则A与B合同.