20132043李建偏微分方程数值解实验

重庆大学学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解课程实践开课实验室数统学院学院数统学院年级2013级专业班信计2班学生姓名李建学号20132043开课时间2015至2016学年第2学期总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月27日实验项目名称一维双曲型方程的有限差分法实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师曾芳成绩是一．实验目的通过该实验，要求学生理解论文3中使用的差分方法，并能通过计算机语言编程实现。二．实验内容考虑如下的初边值问题：０　　　　　ｔ　　　　　　　　　　１１０　　　　　　　1sin),1(,0),0(]1,0[,0sin)0,(],0[],[),(),(),(22itetutuxtxxutxtxxutxtui(1)该问题有解析解xeuitsin1.在第三部分处写出论文的格式的大概推导过程及计算格式；2.根据你写的计算格式，编写一个程序计算上述问题；3.取步长801,401,201,101,51h，算出五种步长在t=1处的数值解并与解析解求相应的误差0maxNiiciNeuu及收敛阶2lnln2NNee，并将其误差列表显示三．实验原理、方法（算法）、步骤1.先将区间离散化，通过差分替换得到如下形式：12212'1''16126)21521(irrrrrruhuhuhuuu2.将形式写为矩阵表示如下：)](2)(6,0,,0),(2)(6[)(]6,12,6[]2,5,2[)](),([)()()()('2'002222111'tuituhtuituhtChhhtridBiiitridAtututuwheretCtButAunnnn3.令BAM1，1AP将偏导项Taylar展开得到如下矩阵计算公式：jjjjjCPMPPCCPMPUMMIUMMI)126(32)126()122()122(22112122224.将计算公式编程实现并得到误差列表显示四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlabclearall;z=sqrt(-1);h=1/5;t=h;N=1/h;n=1;forj=0:h:1%给出边值u(1,n)=0;u(N+1,n)=exp(-z*j)*sin(1);n=n+1;endn=1;%给出初值fori=0:h:1u(n,1)=sin(i);n=n+1;endA=zeros(N-1,N-1);%表示出A,B,C三个矩阵B=zeros(N-1,N-1);C=zeros(N-1,N*2+1);A(1,1)=5*z;A(1,2)=z/2;A(N-1,N-2)=z/2;A(N-1,N-1)=5*z;fori=2:N-2A(i,i-1)=z/2;A(i,i)=5*z;A(i,i+1)=z/2;endB(1,1)=12/h^2;B(1,2)=-6/h^2;fori=2:N-2B(i,i-1)=-6/h^2;B(i,i)=12/h^2;B(i,i+1)=-6/h^2;endB(N-1,N-2)=-6/h^2;B(N-1,N-1)=12/h^2;fori=1:N*2+1C(N-1,i)=-6/h^2*exp(-z*(i-1)*(t/2))*sin(1)+z/2*z*exp(-z*(i-1)*(t/2))*sin(1);endM=inv(A)*B;P=inv(A);T1=eye(N-1)-t/2*M+(t^2/12)*M*M;%通过矩阵进行数值解计算T2=eye(N-1)+t/2*M+t^2/12*M^2;T3=t/6*P+t^2/12*P*M;T4=2*t/3*P;T5=t/6*P-t^2/12*P*M;fori=2:N+1u(2:N,i)=inv(T1)*T2*u(2:N,i-1)+inv(T1)*T3*C(:,2*(i-2)+1)+inv(T1)*T4*C(:,2*(i-1))+inv(T1)*T5*C(:,2*(i-1)+1);endn=1;fori=0:h:1v(n)=exp(-z)*sin(i);n=n+1;ende1=max(abs(real(u(:,N+1))-real(v)'));%计算数值解和解析解的实部最大模意义下误差e2=max(abs(imag(u(:,N+1))-imag(v)'));%计算数值解和解析解的虚部最大模意义下误差五．实验结果及实例分析求的与解析解的误差如下表：h=t实部le||||收敛阶虚部le||||收敛阶1/52.8321×10-62.7391×10-61/102.4230×10-73.54701.8367×10-73.89851/201.2795×10-84.24311.1577×10-83.98781/409.7970×10-103.70727.3631×10-103.97481/805.3305×10-114.20006.3919×10-113.5260从上表我们可以看出，随着所取步长的减小，误差的收敛阶会越来越小，即数值解越来越接近解析解，并且该格式为四阶收敛。教师签名年月日