完全平方公式教案

1《完全平方公式》教学设计一、教材分析本节内容选自初中数学（北师大版）七年级下册第一章第六节完全平方公式。完全平方公式是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；同时又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。教材按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它在本章中起着举足轻重的作用。二、学情分析初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力都有一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。三、教学目标1、知识与技能：体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算。2、过程与方法：通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力。培养学生的数形结合能力。3、情感态度价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。四、教学重难点2教学重点：正确理解完全平方公式意义，掌握公式结构，并能正确运用教学难点：完全平方公式的推导及其几何解释，理解完全平方公式的结构特点及其应用五、教学方法教法：以“探究式学习”为主，突出学生的主动性、参与性，让学生通过观察特点——分析——归纳总结——得出结论，初步掌握探究的学习方法。学法：积极参与交流探讨，从学习中感受乐趣，及时地归纳总结、发现问题、解决问题。六、教学过程（一）复习旧知、引入新知师：同学们上课了，在学习今天的新知识前，我们先来回顾一下上节课学习的“平方差公式”，请说出平方差公式，说说它的结构特点。又是如何推导出来的生：（a+b）(a-b)=a2-b2两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差，通过多项式的乘法，从一般到特殊寻找出规律。【问题1】：想一想、做一做，说出下列各式的结果。（1）（a+b）2（2）（a-b）2设计说明：一开始提出的问题目的在于使学生回顾旧知识的同时引导学生回顾平方差公式的学习过程，为本节课的类比学习奠定基础。而问题1的设置目的在于教师根据学生的认知能力，预设到学生可能出现不同的结果。如：一部分学生得出：（1）（a+b）2=a2+b2（2）（a-b）2=a2-b2一部分学生得出正确结果。不同的结果，可引发学生的争议和思考，可激发学生强烈求知欲望，也为正确认识公式奠定了基础。这样，也创造机会，让学生发表见解，有意识地培养学生有条理地思考和语言表达能力。师：我听到了几个不同的答案，我们来请一位同学说说他的答案，并说出理由。（此时，教师可让学生分别说说理由，并且不直接给出正确评价，还要继续激发学生的学习兴趣。）设计说明：（a+b）2=a2+b2（a-b）2=a2-b2是学生学习完全平方公式时经常出现的问题，并且很难以纠正，以下设置目的在于一方面通过让学生经历探索完全平方公式3的过程，培养学生观察、猜想、发现、归纳、概括等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力。一方面使学生对公式第一次就有充分的感性认识。以免出现以上错误。也能使学生体会到猜想感觉得到的不一定正确，需要验证。生：（说出自己的答案，并叙述理由）师：嗯，这两个同学说的答案和你们的一样吗?他们中有正确的答案吗？今天我们就会学习对这类问题的解答。首先我们来看一下下面的一个问题。（二）创设情境、探究新知【探索】一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。（如图）ab⑴四块面积分别为：、、、;b⑵两种形式表示实验田的总面积：①整体看：边长为的大正方形，S=；aa②部分看：四块面积的和，S=。ab师：边长为a的小正方形的两个相邻边分别增加了b长度，要分别表示这四块图形的面积和大正方形的面积，同学们先自己动手做一做生动手计算师：同学们完成了吗？一起说出答案，从整体这个大正方形的面积为（a+b）2，从部分来看这个大正方形的面积为四个小矩形面积之和，合并一下也就是a2+2ab+b2那么同学们，我们得到的这两个整式都是表示这个大正方形的，我们就不难知道（a+b）2=a2+2ab+b2这就是我们今天要学习的完全平方差公式设计说明：用实际问题创设情境，通过几何问题的研究引导学生得出完全平方公式，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，有条理的表达能力，培养学生的数形结合能力。师：通过以上探索学习，同学们应该知道我们提出的问题1正确的结果是什么了吧？如果还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，继续探索。（a+b）2表示的意义是什么？请你用多项式的乘法法则加以验证。（教学过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确，只有再通过验4证才能得出真知，但还是要鼓励学生大胆猜想，发表见解，但要验证）【问题2】：你能说说（a+b）2=a2+2ab+b2这个等式的结构特点吗？用自己的语言叙述。生：（结构特点：右边是二项式（两数和）的平方，右边有三项，是两数的平方和加上这两数乘积的二倍）师：我们根据之前的几何图形面积计算知道（a+b）2=a2+2ab+b2，那根据刚刚说的结构特征能得到（a-b）2吗？【问题3】：你能根据以上等式的结构特点说出（a-b）2等于什么吗？请你再用多项式的乘法法则加以验证。总结：我们把（a+b）2=a2+2ab+b2（a–b）2=a2–2ab+b2称为完全平方公式。问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式吗？（学生交流，教师归纳总结：）语言描述：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的２倍。强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减。设计说明：通过已知的和的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，拓展迁移引出差的完全平方公式，利用学生模仿学习的思维特点，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，提升发展推理能力和语言表达能力。〈三〉、例题讲解，巩固新知例1：利用完全平方公式计算解：（2x－3）2=（2x）2－2·(2x)·3＋32=4x2－12x＋9（4x+5y）2=（4x）2＋2·(4x)·(5y)＋(5y)2=16x2＋40xy＋25y2（mn－a）2=（mn）2－2·(mn)·a＋a2=m2n2－2mna＋a2设计说明：利用例题讲解，帮助学生学会如何正确应用公式，使学生对公式的本质能5清晰的认识。并获得解题技巧。交流总结：运用完全平方公式计算的一般步骤（1）确定首、尾，分别平方；（2）确定中间系数与符号，得到结果。（四）练习巩固练习1：利用完全平方公式计算①2)32(yx②2)32(yx(3)(-2t-1)2练习2：利用完全平方公式计算（1）（n＋1）2－n2（2）abxxab33练习3：求2yxyxyx的值，其中2,5yx设计说明：使学生亲身经历应用公式的过程，加深学生对公式结构的掌握，对公式本质的理解，获取解题的技巧。（练习可采用多种形式，学生上黑板板演，师生共同评价。也可学生独立完成后，学生互相批改，力求使学生对公式完全掌握，如有学生出现问题，学生、教师应及时帮助。）（五）变式练习1、下列计算是否正确？如不正确如何改正？①222)(baba②222)(baba（3）22222)2(bababa2、选择（1）代数式2xy-x2-y2=(D)A、（x-y）2B、（-x-y）2C、（y-x）2D、-（x-y）2（2）．2)(ba等于（B）A．22baB．222babaC．22baD．222baba（3）．若222)(baAbaba，那么A等于（A）A．ab3B．abC．0D．ab设计说明：本设计目的在于让学生自我评价，是否完全掌握了本节知识，进一步加深对知识的理解。（六）畅谈收获，归纳总结6师生总结：1、本节课我们又学习了乘法的完全平方公式:2、我们在运用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以是任意代数式；(2)公式的结果有三项，不要漏项和写错符号。(3)可能出现①222)(baba②222)(baba这样的错误。明确与平方差公式的差异。（七）作业设置课后习题1、2题七、板书设计完全平方公式八、教后反思乘法公式的学习是学生在初中学习遇到的又一个难点．因为公式代表的是一般形式，具有很高的抽象性，一时不能理解公式里每个字母的含义。在实际应用中，有的同学出现将平方差公式与完全平方公式混在一起的问题。这节课倡导了以学生为主，教师为辅的思想，留足了一定的时间让学生去发现探索、以及做练习，使学生逐步对公式进行认识和理解，这种教学方式，学生学习效果明显，三维目标顺利达成。始终以问题引导学生学习，满足了学生的心里需求，激发了学生的学习兴趣。使学生体会了探究学习的方法。1、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2多项式相乘：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn1、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2多项式相乘：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn2、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2语言描述：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的２倍。注：(1)公式中的字母a、b可是任意代数式；(2)结果三项，不漏、不错号例（1）（2x－3）2=(2x)2–2×3(2x)+（3）2=4x2-12x+9（2）（4x+5y）2=(4x)2–2(5y)(2x)+（5y）2=16x2-20xy+25y2（3）（mn－a）2=(mn)2–2a(mn)+（a）2=m2n2-2amn+a2