2013年高考数学全国卷1答案与解析

12013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合2|20,|55AxxxBxx，则()A.A∩B=B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B考点：集合的运算解析：A=(-,0)∪(2,+),∴A∪B=R.答案：B2.若复数z满足(34)|43|izi，则z的虚部为()A.4B.45C.4D.45考点：复数的运算解析：由题知===，故z的虚部为.答案：D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样考点：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C4.已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A.B.C.12yxD.考点：双曲线的性质2解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为.答案：C5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于A.[3,4]B.[5,2]C.[4,3]D.[2,5]考点：程序框图解析：有题意知，当时，，当时，，∴输出s属于[-3,4].答案：A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.35003cmB.38663cmC.313723cmD.320483cm考点：球的体积的求法解析：设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为35003cm.答案：A7.设等差数列na的前n项和为11,2,0,3nmmmSSSS，则m()A.3B.4C.5D.6考点：等差数列3解析：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．168B．88C．1616D．816考点：三视图解析：由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=.答案：A9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若137ab，则m()A.5B.6C.7D.8考点：二项式的展开式解析：由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6.答案：B10.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,AB两点。若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为()A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy4考点：椭圆的概念与性质解析：设，则=2，=－2，①②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为.答案：D11.已知函数()fx，若||≥，则的取值范围是A．B．C．[2,1]D．[2,0]考点：解不等式组，对数函数解析：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C.答案：D12.设nnnABC的三边长分别为,,nnnabc，nnnABC的面积为nS，1,2,3,n，若11111,2bcbca，111,,22nnnnnnnncabaaabc，则()A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列考点：nS的求法解析：略答案：B5二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.考点：向量的数量积解析：=====0，解得=.答案：=14.若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.考点：等比数列解析：当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.答案：=15.设当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos______考点：求三角函数的最值解析：∵==令=，，则==，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.答案：===16.若函数=的图像关于直线2x对称，则的最大值是______.考点：图像的性质6解析：由图像关于直线=－2对称，则0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===当∈(－∞,)∪(－2,)时，＞0，当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.答案：16三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA考点：余弦定理，正弦定理解析：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；，（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，7化简得，，∴=，∴=.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。考点：线与线垂直证明，线与面所成角的求法解析：（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),……9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），8∴=，∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。考点：求事件发生的概率、期望解析：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列为X400500800PEX=400×+500×+800×=506.2520.(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.9（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.考点：椭圆的概念，直线与椭圆位置关系解析：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.∴当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.21.（本小题满分共12分）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。考点：求函数的导数、解不等式10解析：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设函数==（），==，有题设可得≥0，即，令=0得，=，=－2，（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(2)若，则=，∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(3)若，则==＜0，∴当≥－2时，≤不可能恒成立，综上所述，的取值范围为[1,].22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=√3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。考点：弦切定理，三角形的性质，三角形与外接圆的关系等解析：（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.11（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=.设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于.23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。考点：参数方程与极坐标方程的转化，直角坐标与极坐标的转化解析：将消去参数，化为普通方程，即：，将代入得，，∴的极坐标方程为；（Ⅱ）的普通方程为，由解得或，∴与的交点的极坐标分别为（），.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数=,=.（Ⅰ）当=2时，求不等式＜的解集；（Ⅱ）设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围.考点：含有绝对值不等式的解法解析：当=-2时，不等式＜化为，12设函数=，=，其图像如图所示从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是.（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，∴对∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范围为（-1，].