凸函数几个等价定义

1本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院2目录摘要……………………………………………………………………………………41凸函数的定义………………………………………………………………………62凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………62.1凸函数的等价定义………………………………………………………………62.2凸函数的性质……………………………………………………………………73凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………103.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………103.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………11总结……………………………………………………………………………………16参考文献………………………………………………………………………………17谢辞……………………………………………………………………………………183凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。关键词：凸函数；等价性；不等式4SeveralequivalentofconvexfunctiondefinedAbstractConvexfunctionisakindofimportantfunction,itistheconceptoftheearliestJensenin1905intheworks.Itinpuremathematicsandappliedmathematicsofmanyfieldshaswideapplication,ithasbecomethemathematicalprogramming,thegametheoryandmathematicaleconomics,variationallearnandoptimalcontrolsubjectssuchastheoreticalbasisandpowerfultools.Inordertotheoreticalbreakthrough,strengthentheminpracticalapplication,producedthegeneralizedconvexfunction.Thispapermainlysummarizestheconvexfunctionofseveralcommondefinitionandcharacteristicsandtheirinequationandsoonseveralaspectsintheapplication.[Keywards]Convexfunctions;Equivalence;Inequality.5凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。本文从凸函数的定义出发,先是总结和部分证明了凸函数各种等价定义，归纳了凸函数的相关性质；其次，总结了凸函数的一些应用。1凸函数的定义定义1设2RD为凸集，RDf:．如果对于D中任意两点'x与x，以及任一实数10，恒有)()1()'()x)1('(xfxfxf则称f是凸集D上的严格凸函数。注：若f-是严格凸函数，则称f是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。下图中的a和b分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象,2凸函数的等价定义和性质6函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。2.1凸函数的等价定义定义2设fx是定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点1x,2x,恒有121222fxfxxxf则称fx为I上的凸函数。定义3若在定义I上成立不等式（1x≠2x）122xxf122fxfx则称fx是I上严格的凸函数。定义4下面几个定义等价：（1）)(xf为区间上的凸函数；（2）对,,,2121xxIxx令21)1(txxtx，则1221211;xxxxtxxxxt于是有)()()(21211122xfxxxxxfxxxxxf；（3）对,,,,321321xxxIxxx，有232313131212)()()()()()(xxxfxfxxxfxfxxxfxf；（4）对),2(0,,,,,,2121ntttIxxxnnniit11，有niiiniiixftxtf11)()(；7（5）对RIx,0，使得Ixxxxfxf),()()(00。定义5如果)(xf在上I一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：)(xf在I上单调递增，IxxxxfxfxfIx),)(()()(,00000)(xf的图形在某任一点))(,(00xfx的切线的上方。定义6如果)(xf在I上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：0)(xf。定义7可微函数)(xf：RRn是凸函数的充要条件是：)(xf作为nR在中任一直线nRpxRpx,,上的一元函数)(pxfy满足))((Rpxf单调增。定义8设nRS是非空开凸集，)(xf是定义在I上的二次可微函数，则)(xf是凸函数的充分必要条件是：在S的每一点Hesse矩阵半正定,其中221212212)(nnnxfxxfxxfxfxf为Hesse矩阵。定义9)(xf为ba,上的连续凸函数的充分必要条件是：yxfbaxyxA)(,,且为凸集（水平集）。定义10)(xf在I上是凸函数的充分必要条件是：)(xf对任意定义于1,0上，值域Ig1,0的可积函数xg，有1021)((dxxgfdxxgf，8只要右边有意义。2.2凸函数的性质性质1设xf在区间I上为凸函数，对任意0k，则:0k时，xkf在区间I上为凸函数;0k时，xkf在区间I上为凹函数。性质2设xf，xg是间I上的凸函数，则其和xgxf也是I上的凸函数。性质3若设xf，xg是间I上的凸函数，则xgxf,max为I上的凸函数。性质4设u是单调递增的凸函数，uxf是凸函数，则复合函数xf也是凸函数。性质5设xf为区间I上的凹函数，0xf，则xf1为区间I上的凸函数，反之不真。性质6若xf在区间I上为凸函数，对任意Ix，则x为I的内点.则单侧导数xfxf'',皆存在，且xfxf''。性质7xf为区间ba,上的凸函数，对任意,,,0Rbax对任意Ix有00xfxxxf。9性质8设)(xf是区间I上的凸函数，则在I的任一闭子区间上)(xf有界Iba,，xba,，取abax则bax)1()(xfMbfaf)()(1(此处)(),(max(bfafM)再令c2ba，xba,存在x关于c的对称点x，由)(xf的凸性得到Mxfxfxfcf21)(212)()()(因此，)(xfmMcf)(2。性质9设)(xf是区间ba，上的凸函数，则在ba，的任一闭子区间上)(xf满足Lipschitz条件。3凸函数等价定义的应用举例3.1一些集合上的凸函数凸函数是建立在凸集上的一类函数，以下是相应集合上的凸函数的举例：1.实数域R上的二次函数：Rxxxf,)(2；2.Euclid空间Rn上的范数函数：1,,)()(11pRxpxxxfpniip,其中Tnxxx),,(1，特别221)(nxxxxf10是Rn上的凸函数。3.Banach空间中凸集S上的距离函数：xyxxdssy,inf)(。4.线形拓扑空间X中凸集S上的Minkowski函数（泛函），Xxsxxus,0inf)(。5.线形空间V上的仿射函数：,,,)(Vxxxl其中RV,。6.线形空间V中凸集S上的指示函数：Vxsxxs,,0)(。3.2运用凸函数等价定义证明不等式3.2.1.Jensen不等式：设)(xf在I上是凸函数，),2(0,,,,,,2121npppIxxxnnniip11,niiiniiixfpxpf11)()(，(1)设),2,1(0niai,有.111212121naaaaaaaaannnnn(2)设),,2,1(0,nibaii,有qniippniipniiibaba11111)()(其中111,1,1qpqp。证明：(1)因为01')'(ln2xx,所以xln为凹函数,于是,lnln1)ln(21121nnniinaaaannaaa即11.2121naaaaaannn又因xln为凸函数,于是n1n21a1lnn1a1lnn1a1a1a1lnn,即,1a1a1a121n21nnaaan亦即.a1a1a121n21nnaaan(2)当1p时,),0(,0)1(')'(2xxppxpp,于是px是凸函数.在詹森不等式中令),2,1(,)(1nibbxxfnjqjqiip,有nipqiiiipninjqiqiqiibabbba11111)())1((qpq于是,)()(1j1i1j1njqniqpnjqpniiibabba得到)()()(1i11j1niqpnjqpniiiabba12)()(1i11jniqpnjqab再对上面不等式两边开p次方，便证得.)()()11j11p1pnippnjpiniiibaba。3.2.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式:pppyxyx即pppnipinipinipiiyxyx111)()()(111其中1p。证明:当1p时,显然成立。当1p时,考虑0.)(tttp由于)(t为凸函数，由凸函数定义得:ppippppipppyyxxyxxxxxppipppppipppyyxxyxxxxx)()(则:pnippiipnippiixxyxxxyx11nippipppppipppyyxxyxxxxx1)()(pnipippppnipipppyyxxyxxxxx11)()(1ppppppppppppppyyxxyxxxxx13这样nipppiiyxyx1两边取p次根的证。3.2.3霍尔德(Holder)不等式：设111,1，),,2,1(00nibaii及,则11)()((111niiniiniiibaba且仅当ia与ib),,2,1(ni成正比例时等号成立。证明：取)0,1()(xxxf由0)1()(2