二面角习题及答案

温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-1-二面角1.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=32，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°2.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，则BC=SB=2a且AC=3易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°3.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。DPCABEDBASC温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-2-解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=21CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴58BDBCCDCE∴54RN25RNMNMRNtan∴25arctanMRN4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=0120，求二面角A-BD-C的余弦值。解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD内的射影∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=a23∴AD=41ABDcos26，∴sin∠ABD=415∴22ABDa815415a21S又a21BESRNMOBDPACDBAEC温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-3-∴2BDEa83a21a2321S∴55SScosABDBDE考虑到我们求的是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-C互补∴二面角A-BD-C的余弦值为55。5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。解：设边长为a，易证ANC'N是菱形且MN=a2，A'C=a3∴Ｓ□AMC'N=2a26'AC21MN由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正方形ABCD∴Ｓ□ABCD=2a∴36a26acos221∴36arccos1取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，Ｓ□DM'C'M=2a21∴66a26a21cos222D’B’DAC’BA’CMN温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-4-∴66arccos26.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角DABC的大小。解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，∵AC=CD=1∠ABC=30°∴AD=2，BC=3，AB=2，BD=2在Rt△ABC中，23231ABBCACCE，同理1222ABBDADDF∴1DFBDBF2221CEACAE22∴212112EF∴cosDFEF2EFDFCECD2222∴33cos即所求角的大小为33arccos。7.三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=6，AD=4，求二面角A-BC-D的度数。解：由已知条件∠BAC=90°，AB=AC，设BC的中点设为O，则OA=OC=3BC=32BFEACDDOABC温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-5-2333230tanBCDC0∴cosCDAO2CDOCAOAD2222解之得：21cos∴1508.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A—BD—C、A—BC—D、B—AC—D的大小.解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝2，BD＝2，∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.∴∠AOC是二面角A—BD—C的平面角又AO＝OC＝1，AC＝2，∴∠AOC＝90°.即二面角A—BD—C为直二面角.(2)∵二面角A—BD—C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.∵SΔOCB＝21,SΔABC＝23,∴cosθ＝33.即二面角A—BC—D的大小是arccos33.(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.在ΔBDE中，BE＝DE＝26，由余弦定理，得cosα＝-31∴二面角B—AC—D的大小是π-arccos31.评析本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.又EG∥AB，故易得tan∠AEG=tan∠BAE=22ABBE.9.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-6-角A—EB—D的平面角大小.解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.(2)EO∥PC，PC平面PBC，∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF⊥BC于F，∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB＝2a,OF＝2a×23＝43a，则点E到平面PBC的距离为43a.(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG∵OE⊥AC，BD⊥AC∴AC⊥平面BDE∴AG⊥EB(三垂线定理)∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角∵OE＝21PC＝21a,OB＝23a∴EB＝a.∴OG＝EBOBOE＝43a又AO＝21a.∴tan∠AGO＝OGAO＝332∴∠AGO＝arctan332.评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.10.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线BD1上，且AE＝41，BF＝21，D1G∶GB＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.解析：设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD，∵DDGH1＝BDGB1＝32∴GH＝32作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-7-面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝HMGH.下面求HM的值.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.H(31，32)、E(41，0)、F(1，21)∴直线EF的方程为0210y＝41141x，即4x-6y-1＝0.由点到直线的距离公式可得｜HM｜＝22641326314＝13611，∴tgθ＝32·11136＝11134，θ＝arctg11134.说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.11.如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a.(1)求证：AF⊥A1C(2)求二面角C—AF—B的大小温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-8-分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解(1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB连结EF，由于AB＝2AA1∴AA1FE为正方形∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a∴CE＝2a,OE＝22a,∴tan∠COE＝aa222＝2.∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.12．如图1111DCBAABCD是长方体，AB=2，11ADAA，求二平面CAB1与1111DCBA所成二面角的大小．解析：∵平面ABCD∥平面1111DCBA，∴平面CAB1与平面1111DCBA的交线l为过点1B且平行于AC的直线．直线l就是二平面CAB1与1111DCBA所成二面角的棱．又1AA⊥平面1111DCBA，过1A作AH⊥l于H，连结AH．则1AHA为二面角1AlA的平面角．可求得25tan1AHA．因此所求角的大小为25arctan或25arctanπ13.在正方体1111DCBAABCD中，1BBK，1CCM，且141BBBK，143CCCM.．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-9-解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．设正方体棱长为a，则aCM43，aBK41．在△ECM中，由BK∥CM可得aEB21，aCF53，故45tanMFC．因此所求角的大小为45arctan或45arctanπ．14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角CADC．（1）若二面角CADC是直二面角，求CC的长；（2）求CA与平面CDC所成的角；（3）若二面角CADC的平面角为120°，求二面角DCCA的平面角的正切值．解析：（1）若90DCC，∵AC=a，∴aCDDC21，∴aCC22．（2）∵CDAD，AD⊥DC，∴AD⊥平面CCD．∴DCA为CA与温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子------温新堂教育-10-平面CCD所成的角，在Rt△CAD中，ACDCCD21，∴30CDA，于是60DCA．（3）取CC的中点E，连结AE、DE，∵DCCD，ACCA，∴CCAE，CCDE，∴∠AED为二面角DCCA的平面角，∵120DCC，aCDDC21，∴aDE41，在Rt△AED中，aAD23，∴．324123tanaaDEADAED