(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解

1因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x+x=-x(3x-1)）基本方法1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1：22x-3x解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是()A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+y23.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是()A.42B.－42C.13D.－134.将下面各式进行因式分解(1)cbacabba233236128(2)ababba71421222(3)ma2-4ma+4a(4)-28y4-21y3+7y25.已知2x－y=81，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.6.已知(4x-2y-1)2+2xy=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式：．2、分解因式：；3.分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例2：2x-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)【随堂练习】1、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A．B．C．D．2.分解因式：3.分解因式：．3针对性练习：一、平方差公式：))((22bababa1.填空222211___()()4411(____)(____)911____(2)(2)22xxxabxxyxy2.将下列各式因式分解(1)229nm(2)4161m(3)452322abcabc(4)nnbaba)()(2(5))()(22xybyxa(6)22)(16)(49nmnm二．完全平方公式：222)(2bababa1、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是()A、x2+xy+y2B、x2－2x－1C、-x2-2x-1D、x2+4y22、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是()A.10B.20C.－20D.±203、－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.5．将下列更是进行因式分解(1)x2+6ax+9a2(2)442nnyy（3）42244nnmm(4)2x3y2–16x2y+32x；(5)3ax2+6axy+3ay2;(6)249114xx(7)1)(2)(2qpqp(8)1)1(2)1(24xx4【课后练习】1、将下列各式进行因式分解：(1)12x3y-2xy3；(2)(5a2-2b2)2-（2a2-5b2）2。2、将下列各式因式分解：（1）1-16x2；(2)25x2y2-49a2；(3)-x4+9121y2。3、把下列各式进行因式分解：(1)(3x+2y)2-（x-y）2；(2)-(x+2)2+16(x-1)2。4、因式分解4b2-4ab+a2正确的是（）A．4b(b-a)+a2B．(2b-a)2C．(2b-a)(2b-a)D．(2b+a)25、已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值.5因式分解识点1：分解因式的定义1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892xxxx（）②)49)(49(4922yxyxyx（）③9)3)(3(2xxx（）④)2(222yxxyxyxyyx（）知识点2：公因式公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：（1）符号:若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1.的公因式是多项式963ab-abyabx_________2.多项式3223281624abcababc分解因式时，应提取的公因式是（）A．24abcB．38abC．32abD．3324abc3.342)()()(nmmnynmx的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的类型：（1）3442231269bababa=________________；（2）11nnnaaa=____________（3）542)()()(babaybax=_____________（4）解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值62.式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864yxyxyx=_______________②243)(12)(8)(4nmnmnm=_______（2）22188yx=_______________练习：1．多项式:abyabxab24186的一个因式是ab6,那么另一个因式是()yxA431..yxB431..Cyx431D..yx4312.分解因式－5(y－x)3－10y(y－x)33.公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如）（）（）（）（1-x-yx-yx-y-x-y)(-)(55656xyyx例：(1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）(2)（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）（3）aababaabba()()()32222练习：1．把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（）(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)2．多项式)3()3(3yxyx的分解因式结果（）A．))(3(3xxyB．))(3(3xxyC．)1)(3(2xyxD．)1)(3(xyx3．分解因式：7（1）)(()()(yxxynyxm________)（2）－6(x－y)4－3y(y－x)5知识点4公式法分解因式．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方.b.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型（1）．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p2（2）．下列各式中，能用平方差分解因式的是（）A．22yxB．22yxC．22xyxD．21y2、直接用平方差的类型（1）22916yx（2）1252x（3）14x3、整体的类型：（1）22)(nnm（2）22)32()(yxyx4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m3—4m=．(2)aa3．练习：将下列各式分解因式（1）22241xx(2)100x2－81y2；(3)9(a－b)2－(x－y)2；（4）5aa（5）xx93（6）)()(3nmnm二、完全平方式分解因式法8完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2特点：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是（）A．yx2B．22yxC．yyx22D．962xx2、关于求式子中的未知数的问题如：1．若多项式162kxx是完全平方式，则k的值为（）A．—4B．4C．±8D．±42．若kxx692是关于x的完全平方式，则k=3.若49)3(22xmx是关于x的完全平方式则m=__________3、直接用完全平方公式分解因式的类型(1)2816xx；(2)224129xxyy；(3)224xxyy；(4)224493mmnn4、整体用完全平方式的类型(1)(x－2)2＋12(x－2)＋36；（2）2)()(69baba5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)-4x3+16x2-16x；(2)21ax2y2+2axy+2a（3）已知：2,1yxab，求xyababyabx63322的值练习：分解因式（1）442xx（2）641622axxa（3）4224168bbaa（4）49)(14)(2yxyx（5）2)()(69baba9（6）22312123xyyxx（7）21222xx知识点5、十字相乘法分解因式．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=abxbax)(2，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式：(1)1072xx(2)3522xx(3)a2+6ab+5b2(4)x2+5x+6(5)x2-5x+6(6)x2-5x-6练习：(1)x2+7x+12(2)x2-8x+12(3)x2-x-12(4)x2+4x-12(5)y2+23y+22(6)x2-8x-20(7)x2+9xy-36y2知识点6、分组的方法分解因式如(1)mmm205443(2)144224xyx练习：（1）222449cbcba（2）124323xxx（3）22962yyxx（4）44922yyx（5）4222yxyxy