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1第4章相交线与平行线一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）00001290(180),1390(180),则23(同角的余角或补角相等)。（2）00001290(180),3490(180),且14,则23(等角的余角（或补角）相等)。相交线与平行线26、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。（五）尺规作线段和角1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：3（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线××；（2）在射线上截取××=××；（3）在射线××上依次截取××=××=××；（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段××=××；（2）画∠×××=∠×××；（六）平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行4、平行于同一条直线的两直线平行5、垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4【经典例题】例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。例2.如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问1424与，与，34与各是什么角？AD123E4BC图（1）分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。AD123E4BC图（2）答案：14与是同位角，24与是内错角，34与是同旁内角。5例3如下图（1），l2364512l1l3图（1）（1）12与是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。（2）13与是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。（3）34与是两条直线_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。（4）5与6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到13与是由直线ll13，被第三条直线l2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。l231l1l3图（2）答案：（1）1与2是两条直线ll23与被第三条直线l1所截构成的同位角。（2）1与3是两条直线ll13与被第三条直线l2所截构成的同位角。（3）34与是两条直线ll13与被第三条直线l2所截构成的内错角。6（4）5与6是两条直线ll12与被第三条直线l3所截构成的同旁内角。例4如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN的大小_P_N_M_A_B_E_F_G_H_C_D答案：50°解析：因为∠AMF=∠BNG=75°，又因为∠BNG=∠MNP，所以∠AMF=∠MNP，所以EF∥GH，所以∠MPN=∠CME，又因为∠AMF=75°，∠CMA=55°，所以∠AMF+∠CMA=130°，即∠CMF=130°，所以∠CME=180°－130°=50°，所以∠MPN=50°例5如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM答案：57.5°解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以AB∥DE，所以∠BCN=∠4=115°，所以∠ACM=115°，又因为CP平分∠ACM，所以∠PCM=12∠ACM=12×115°=57.5°，所以∠PCM=57.5°例6如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小答案：102°解析：因为∠2=∠CDB，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠CDB=180°，所以得到AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°7例7如图，已知：∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F解析：因为∠BAP与∠APD互补，所以AB∥CD，所以∠BAP=∠CPA，又因为∠1=∠2，所以∠BAP－∠1=∠CPA－∠2，即∠EAP=∠FPA，所以EA∥PF，所以∠E=∠F例8如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明答案：∠HOP=∠AGF－∠HPO解析：过O作CD的平行线MN，因为AB∥CD，且CD∥MN，所以AB∥MN，所以∠AGF=∠MOF=∠HON，因为CD∥MN，∠HPO=∠PON，所以∠HOP=∠HON－∠PON=∠HON－∠HPO，所以∠HOP=∠AGF－∠HPO例9如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360°ABABEFECDCD分析：因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。解：过点E作EF∥AB，则∠B＋∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（作图）∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠D＋∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF=360°∵∠B＋∠BED＋∠D=∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF8∴∠B＋∠BED＋∠D=360°例10.小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。解：∵AE∥BD（已知）∴∠BAE=∠DBA（两直线平行，内错角相等）∵∠BAE=40°（已知）∴∠ABD=40°（等量代换）∵∠CBD=∠ABC＋∠ABD（已知）∴∠ABC=∠CBD－∠ABD（等式性质）∵∠ABD=40°（已知）∴∠ABC=75°－40°=35°例11如图，∠ADC=∠ABC，∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：BC为∠DBE的平分线。分析：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这时欲证BC为∠DBE的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠C=∠6，∠4=∠5，由AD为∠FDB的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证AE∥CF，且AD∥BC了，由已知条件∠1＋∠2=180°不难证明AE∥CF，利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件，不难推证AD∥BC。证明：∵∠1＋∠2=180°（已知）∠2＋∠7=180°（补角定义）∴∠1=∠7（同角的补角相等）∴AE∥CF（同位角相等，两直线平行）∴∠ABC＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）又∠ADC=∠ABC（已知），CF∥AB（已证）∴∠ADC＋∠C=180°（等量代换）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠6=∠C，∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）∴∠3=∠6（等量代换）又AD为∠BDF的平分线∴∠5=∠6∴∠3=∠4（等量代换）∴BC为∠DBE的平分线例12如图，DE，BE分别为∠BDC，∠DBA的平分线，∠DEB=∠1＋∠2（1）说明：AB∥CD（2）说明：∠DEB=90°分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证∠CDB与∠ABD互补比9较困难，而∠1＋∠2=∠DEB，若以E为顶点，DE为一边，在∠DEB内部作∠DEF=∠2，再由DE，EB分别为∠CDB，∠DBA的平分线，就不难证明AB∥CD了，（2）由（1）证得AB∥CD后，由同旁内角互补，易证∠1＋∠2=90°，进而证得∠DEB=90°证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在∠DEB的内部作∠DEF=∠2∵DE为∠BDC的平分线（已知）∴∠2=∠EDC（角平分线定义）∴∠FED=∠EDC（等量代换）∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）∵∠DEB=∠1＋∠2（已知）∵∠FEB=∠1（等