多元函数的基本概念.ppt

目录上页下页返回结束推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用目录上页下页返回结束第九章第一节一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念目录上页下页返回结束本节重点•了解多元函数的基本概念•会求函数的定义域•会求简单的多元函数的极限•知道极限不存在的说明方法目录上页下页返回结束平面点集，n维空间目录上页下页返回结束一、平面点集n维空间直线R中的点集实数集，一维空间区间自然数集目录上页下页返回结束1、平面点集实平面，二维空间，坐标平面平面点集目录上页下页返回结束常见平面点集}|),{(222ayxyxB}1|),{(2xyxyxC圆域目录上页下页返回结束圆环域}1|||||),{(yxyxD}41|),{(22yxyxE目录上页下页返回结束空间点集},,|),,{(3zyxzyxR实空间，三维空间}|),,{(2222azyxzyxA球面}|),,{(2222azyxzyxB球体目录上页下页返回结束}|),,{(22222yxazyxzyxC22yxz222yxaz目录上页下页返回结束}|),,{(22222yxazyxzyxC球顶锥体目录上页下页返回结束2.邻域回忆：R中的邻域；目录上页下页返回结束0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx平面中的邻域点P0（x0，y0）的δ邻域；空间中的邻域点P0（x0，y0，z0）的δ邻域；),(0PU||0PPP222000(,)|()()().xyxxyyzz目录上页下页返回结束δPP00说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为0()UP目录上页下页返回结束3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.目录上页下页返回结束(2)聚点与孤立点若对任意给定的,点P的去心E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)所有聚点所成的点集称为E的导集，记作.'E目录上页下页返回结束若点集E的点都是内点，则称E为开集；EP}41),{(221yxyxE例如，即为开集．开集不包含它的任何边界点若点集EE’,则称E为闭集；E的边界点的全体称为E的边界,记作E;点集E是闭集，是指它包含了它的每一个非孤立的边界点。EP22{(,)|01}xyxy例如,即为闭集．(3)开集与闭集目录上页下页返回结束D(4)开区域及闭区域若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。目录上页下页返回结束例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录上页下页返回结束整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.11对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无xyO目录上页下页返回结束二元函数的概念目录上页下页返回结束二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr目录上页下页返回结束定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作目录上页下页返回结束多元函数的定义域多元函数的定义域：明确指定或约定定义域的约定：使函数表达式有意义的所有点的集合。目录上页下页返回结束xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22yxyx圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz又如的图形一般为空间曲面.12),(Ryx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录上页下页返回结束二元函数的图形目录上页下页返回结束}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx目录上页下页返回结束一张曲面二元函数的图形通常是目录上页下页返回结束二元函数的例子22yxz旋转抛物面目录上页下页返回结束222yxaz上半球面22yxz正圆锥面目录上页下页返回结束22xRz上半圆柱面231yxz平面目录上页下页返回结束复杂的二元函数的例子yxzsinsin22sinyxz22yxxyez目录上页下页返回结束一个二元函数并非每一个曲面都表示222zyx22yxz22yxz目录上页下页返回结束2222Rzyx222yxRz222yxRz目录上页下页返回结束求多元函数的表达式例设，22(,)fxyxyxy求(,)fxy解因为2(,)()2xyxfxyyxy得2(,)()2fuvuv所以2(,)2fxyxy目录上页下页返回结束多元函数的极限目录上页下页返回结束三、多元函数的极限回忆：一元函数的极限:)(lim0Axfxx.|)(|||0:0,00Axfxxx对.|)(|),(0AxfxUxo或对目录上页下页返回结束定义1设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．目录上页下页返回结束例1求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．目录上页下页返回结束若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.例2.讨论函数函数目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx,0但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在.目录上页下页返回结束多元函数的极限运算法则与一元函数类似，比如四则运算法则夹逼准则等价无穷小代换（因式代换）但罗比达法则不再成立！目录上页下页返回结束例3求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2目录上页下页返回结束多元函数的连续性目录上页下页返回结束四、多元函数的连续性定义3.设二元函数)(Pf定义在D上,0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy0)(PPf在点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上000P(x,y)D,聚点如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,回忆一元函数的连续性000lim()()xxfxfxfx在连续目录上页下页返回结束例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,故(0,0)为其间断点.目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.多元初等函数；由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。初等函数sin()xy()xyxye2()(2)xyxy处处连续又如,函数上间断.122yx在圆周目录上页下页返回结束例4.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.2100000lim()()()()lim()().PPPPfPfPPfPfPPfPfP一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是目录上页下页返回结束例5.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又220yxyx)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得目录上页下页返回结束课内练习p63,6(6)222222001cos()lim.()xyxyxyxye02222)()cos(1lim22220yxyxeyxyx2222)()(21lim222220yxyxeyxyx222222001cos()lim.()xyxyxyexy目录上页下页返回结束定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则)()2(Pf*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)目录上页下页返回结束作业•P623，5（偶数），6（奇数），7,8