1.2.2-绝对值不等式的解法

边城高级中学张秀洲1、理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2、会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.3、能利用绝对值不等式解决实际问题.自学教材P15—P18解决下列问题二、能利用绝对值不等式解决实际问题.三、《教材》习题1.2第6、7、8、9题.一、理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.1、绝对值的定义：2、绝对值的几何意义：实数a绝对值|a|表示数轴上坐标为A的点到原点的距离.a0|a|Aba|a－b|AB实数a,b之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上对应的A,B之间的距离.3、绝对值的运算性质：2,aaabab，||||||aabb0000aaaaaa问题：你能用几种方法来解下面两个不等式的解集?①1x②1x方法一:利用绝对值的几何意义观察；方法二:用绝对值的定义去掉绝对值符号,分类讨论;方法三:两边同时平方去掉绝对值符号;方法四:利用函数图象观察.这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.主要方法有:0-1不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}探索：不等式|x|1的解集.方法一：利用绝对值的几何意义观察①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1x1}方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论探索：不等式|x|1的解集.对原不等式两边平方得x21即x2－10即(x+1)(x－1)0即－1x1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.oxy11－1y=1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法四：利用函数图象观察一般地，可得解集规律:形如|x|a和|x|a(a0)的含绝对值的不等式的解集:①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa注：如果0a≤，不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法【例】解不等式：|3x－1|≤2|31|2-2312xx由得解:1-13x解得113xx因此，原不等式的解集为|23|7x【例】解不等式≥|23|7|32|7xx由得解:32-7327xx所以，或5-33xx从而，或5-33xxx因此，原不等式的解集为或解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴(0)fxaafxafxa或；⑵(0)fxaaafxa；⑶()()()fxgxfxgxfxgx或；⑷()()()fxgxgxfxgx；⑸22fxgxfxgx2|34|1xxx解不等式尝试1:分类讨论去绝对值符号.尝试2:运用解法公式.尝试3:数形结合(函数图象).解:原不等式等价于（Ⅰ）22340341xxxxx≥或（Ⅱ）22340(34)1xxxxx2|34|1xxx解不等式41145113xxxxxx≥≤或或或5113xxx或或5113xxxx因此，原不等式的解集为或或还有没有其他方法?（2）|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法【例】试解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法一：利用绝对值的几何意义,体现了数形结合的思想.-212-3解:由绝对值的几何意义，得：32xxx因此，原不等式的解集为或3个单位1个单位1个单位方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．【例】试解不等式|x-1|+|x+2|≥511(1)+(22)5xxxxx当时，原不等式可以化为22-(1)-(32)5xxxxx解：当时，原不等式可以化为2121-(1)+(2)5xxxxx当时，原不等式可以化为32xxx因此，原不等式的解集为或方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想．【例】试解不等式|x-1|+|x+2|≥5解:原不等式化为|x-1|+|x+2|-5≥0令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则-312-2-2xy-(1)-(2)5,(2)()-(1)+(2)5,(21)(1)+(2)5,(1)xxxfxxxxxxx26,(2)()2,(21)24,(1)xxfxxxx32xxx由图象知不等式的解集为或解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。主要方法有：⑴同解变形法:运用解法公式直接转化；⑵定义法:分类讨论去绝对值符号；含一个绝对值符号直接分类；含两个或两个以上绝对值符号:零点分段法确定.⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）;⑷利用函数图象来分析.（3）形如|x＋m|±|x＋n|(或)a恒成立的问题【例】(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|a恒成立，求实数a的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a5.【例】(2)关于x的不等式a|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解】(2)问题可转化为af(x)的某些值，由题意af(x)min，同上得a5.【例】(3)关于x的不等式a|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．【解】(3)问题可转化为对一切x∈R恒有a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.2020年1月14日星期二你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？2020年1月14日【预习】课本P21-P22《比较法》1次必做题:《教材》P20习题1.2第6(2)(4)、7、8(2)(3)题选做题:《教材》P20习题1.2第9题