绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)

绝对值不等式1、绝对值三角不等式2、绝对值不等式的解法1、绝对值三角不等式在数轴上，0aaxA表示点A到原点的距离ababxBA表示数轴上A,B两点之间的距离Oab-b-Ba的几何意义ab的几何意义ab的几何意义表示数轴上A,-B两点之间的距离探究当ab0时，abab当ab0时，abab当ab=0时，abab设a,b为实数，你能比较之间的大小关系吗？abab与baba定理1如果a,b是实数，则当且仅当时，等号成立。abab0ab你能解释它的几何意义吗？，你能得出什么结果？，换成相量，把实数baba当向量不共线时，,abOxyabababab当向量共线时，,ab同向：反向：abababababab定理1如果a,b是实数，则ababababab定理1的完善bababa绝对值三角不等式如果a,b，c是实数，则cbbaca).2(定理1的推广cbacba).1(定理21、求证：（1）（2）2ababa2ababb2、求证：（1）（2）xaxbabxaxbab93xx1.求的最大值93xx2.求的最小值3.若变为|x+1|+|x-2|k恒成立，则k的取值范围是4.若变为不等式|x-1|+|x-3|k的解集为空集，则k的取值范围是3、已知0,,,xayb求证23235xyab2020年1月14日星期二绝对值不等式的解法（一）一、复习回顾1.绝对值的定义：|a|=a,a0－a,a00,a=02.绝对值的几何意义：实数a绝对值|a|表示数轴上坐标为A的点到原点的距离.a0|a|Aba|a－b|AB实数a,b之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上对应的A,B之间的距离.3.绝对值的运算性质：2,aaabab，||||||aabb提出问题:你能看出下面两个不等式的解集吗?⑴1x⑵1x法一:利用绝对值的几何意义观察；法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论;法三:两边同时平方去掉绝对值符号;法四:利用函数图象观察.这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.主要方法有:不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.∴不等式|x|1的解集为{x|-1x1}探索：不等式|x|1的解集.0-11方法一：利用绝对值的几何意义观察①当x≥0时，原不等式可化为x＜1,②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1x1}方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论对原不等式两边平方得x21,即(x+1)(x-1)0∴－1x1∴不等式|x|1的解集为{x|-1x1}.方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.从函数观点看,不等式|x|1的解集,是函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.oxy11－1y=1∴不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法四：利用函数图象观察探索：不等式|x|1的解集.一般结论:形如|x|a和|x|a(a0)的不等式的解集:①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa想一想:如果0≤a,以上不等式的解集是什么？|32|7.x解不等式例1.237x原不等式解:237237xx或25xx或{|25}.xxx原不等式的解集为或|32|1x变解不等式练．习式:(,0)(1,)答案:2|5|6xx解不等式．例2.2656xx原不等式解:225656xxxx225602316560xxxxxxx或1236,xx或1|34|6x解不等式．变练习式:1052[,)(1,]333答案:(1,2)(3,6).原不等式的解集为解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：(1)(0)fxaafxafxa或(2)(0)fxaaafxa(3)()()()fxgxfxgxfxgx或(4)()()()fxgxgxfxgx22(5)fxgxfxgx2|34|1.xxx解不等式例3.2222340340341(34)1xxxxxxxxxx原不等式或解1:41141351xxxxxx或或或1,513,xxx或，或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或2|34|1.xxx解不等式例3.2234(1)341xxxxxx原不等式或解2:22230450xxxx或13,1,5,xxx或或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或(1)(3)0,(1)(5)0xxxx或解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：(1)(0)fxaafxafxa或(2)(0)fxaaafxa(3)()()()fxgxfxgxfxgx或(4)()()()fxgxgxfxgx22(5)fxgxfxgx2020年1月14日星期二绝对值不等式的解法（二）例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法一:利用绝对值的几何意义．解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.-212-3-10AA1BB1-3,2对应的点分别为A1,B1，∵|A1A|+|A1B|=5,|B1A|+|B1B|=5,∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B的距离之和都小于5,而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B的距离之和都大于5,这种方法体现了数形结合的思想方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5(1)2x当时,解:2(1)(2)5xxx原不等式23.3xxx(2)21x当时,21(1)(2)5xxx原不等式21.35xx(3)1x当时,1(1)(2)5xxx原不等式122xxx这种解法体现了分类讨论的思想∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．|1||2|50,xx原不等式化为解:例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5|1||2|,yxx构造函数化简得(1)(2)2(1)(2)21(1)(2)1xxxyxxxxxx，，，26,2221241xxyxxx即，，-312-2-2xy这种方法体现了函数与方程的思想．例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5如图,作出函数的图象,26,2221241xxyxxx，，320,xxy由图象可知,当或时,函数的零点是-3,2.∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5思考一：由以上解法可知，|x-1|+|x+2|有最值此时，x的取值范围是思考二：若变为|x-1|+|x+2|≥k恒成立，则k的取值范围是思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|k成立，则k的取值范围是思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|k的解集为，则k的取值范围是小312，x3k3k3k练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥11|xx的最大和最小值并思考的图像，作出)(│2–x│–│1+x│)(xfxf的取值范围是恒成立，的取值范围是恒成立，kk│2–x│–│1+x│kk│2–x│–│1+x│例2.已知函数.（I）画出的图像；（II）求不等式的解集。4133212342xxfxxxxx，≤，，≥11353，，，2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的取值范围是----------3.解不等式1|2x+1|3.1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|k恒成立，则k的取值范围是（）(A)k3(B)k-3(C)k≤3(D)k≤-3B4.解不等式|x+3|+|x-3|8.答案:(-2,-1)∪(0,1)答案:{x|x-4或x4}.(,2]　　　　　　5.解不等式：|x-1||x-3|.答案:{x|x2}.6.解不等式|5x-6|6-x.答案:(0,2)课堂练习课堂小结:1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。2.主要方法有：⑴同解变形法:运用解法公式直接转化；⑵分类讨论去绝对值符号；⑶数形结合(运用绝对值的几何意义);⑷利用函数图象来分析.