圆中的相似

1、如图，△ABC中，AB=AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D.求证：（1）∠DAC=2∠B；（2）CA2=CD·CO2、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积．3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．求证：(1)DE为⊙O的切线．(2)AB•DF=AC•BF．4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若，求的值；(3)在(2)的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积．5、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。求证：(1)EF是⊙O的切线；(2)△OBF∽△DEC。6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：△BCG∽△ACE；(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．8、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．9、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．(1)求证：DE为⊙O的切线．(2)求证：AB：AC=BF：DF．1.证明：（1）如图,由已知△ABC中,AB=AC得△ABC为等腰三角形,∠B=∠ACB外角∠1=∠B+∠ACB=2∠B又由已知O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A得△OAB为等腰三角形,∠B=∠OAB,OA⊥AC外角∠2=∠B+∠OAB=2∠B∠OAC=90°即∠1=∠2，△OAC为直角三角形由已知过C作CD⊥BA的延长线于D，得∠ADC=90°，△ADC为直角三角形在直角三角形△OAC和△ADC中∠1=∠2,∠OAC=∠ADC=90°∴△OAC∽△ADC则CA/CO=CD/CA，即∴CA²=CD·CO2解：（1）连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠ODF=∠DEA=90°，∵OD是半径，∴EF是⊙O的切线．（2）∵AB为⊙O的直径，DE⊥AC，∴∠BDA=∠DEA=90°，∵∠BAD=∠CAD，∴△BAD∽△DAE，∴ABADADAE，即43ADAD，∴AD=2，∴cos∠BAD=23342ADAB，∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，∴BD=12AB=2，∴S△BOD=12S△ABD=12×12×2×2=，∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD=26022333603解析：（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，据切线的判定推出即可；（2）证△BAD∽△DAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面积，相减即可．3证明：（1）如图，连接OD、AD．∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠CDA=90°．又∵E是边AC的中点，∴DE=AE=12AC，∴∠1=∠4，∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．又∵AB是⊙O的直径，∴DE为⊙O的切线；（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴∠3=∠C（同角的余角相等）．又∵∠ADB=∠CDA=90°，∴△ABD∽△CAD，∴ABBDACAD易证△FAD∽△FDB，∴BDBFADDF，∴ABBFACDF，∴AB•DF=AC•BF．解析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，点E为AC中点，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定即可；（2）证△ABD∽△CAD，推出ABBDACAD，再证△FAD∽△FDB，推出BDBFADDF，得ABBFACDF，可得出AB•DF=AC•BF．4.试题分析：（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；（2）先由（1）得OD∥AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD因为OA=OD所以∠OAD=∠ODA又已知∠OAD=∠DAE可得∠ODA=∠DAE，所以OD‖AC，又已知DE⊥AC可得DE⊥OD所以DE是⊙O的切线；（2）由（1）得OD∥AE，（3）13528点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.5证明：（1）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，又∵CD=BD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∠ODE=90°，∵点D是⊙O上一点，∴EF是⊙O的切线。（2）∵BF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线，∵EF是⊙O的切线，∴∠BFO=∠DFO，FB=FD，∴OF⊥BD，∵∠FDB=∠CDE，∴∠OFD=∠C，∴∠C=∠OFB，又∵∠CED=∠FBO=90°，∴△OBF∽△DEC。6.解答：（1）证明：连接OC．∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90°，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：连接AE．∵点D在劣弧AC中点位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE•DF．（3）解：连接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．∵点D在劣弧AC中点位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=4．点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．7.解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∴AE⊥BC．（2）如图1，∵BF与⊙O相切，∴∠ABF=90°．∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，（弦切角等于夹弧所对圆周角）∴∠DBE=∠CBF．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴BD⊥AF．∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，∴CD=CG．∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，∴tan∠F==CG=tan60°=∵CG=，∴CD=．∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，∴∠BAF=30°．∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，∴AB=2BD．∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．∴AB=AC．设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．∵∠ADB=90°，∴AD=r．∴DC=AC-AD=2r-r=（2-）r=．∴r=2+3．∴⊙O的半径长为2+3．8.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠ADB=∠DEA，∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．∴△DAE∽△BAD．∴∠ADE=∠B．（2）证明：∵OF∥AD，∴∠F=∠ADE．又∵∠DEA=∠FDO（已证），∴△FDO∽△DEA．∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE．9.