高等数学偏导数.ppt

第二节偏导数1.偏导数的定义及其计算法2.偏导数存在与连续的关系3.高阶偏导数4.小结、作业我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.一、偏导数的定义及其计算法同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地设),,,(21nxxxfwininiixixxxxfxxxxfxwi),,,,(),,,,(lim110),,2,1(ni下面讨论偏导数的计算方法xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出:定义zx时,变量y是不变的,实际上,是对函数),(yxf,将y视为常数,关于变量x按一元函数导数的定义进行的：xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0xxxyxf实质上是多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将n个自变量中的某一个看成变量,其余的n－1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可.例求223yxyxz在)2,1(处对x的偏导数．解法一)(用定义21yxxz.8xzxzx)2,1()2,1(lim0解法二)(用定义)2,1(),(yxxz.81)2,(xdxxdz12)46(xxx解法三值）先求偏导函数再代函数()2,1(),(yxxz)2,1(),(22)3(yxxyxyx)2,1(),()32(yxyyx为常数视.8.arctan的偏导数求yxzxyxyxxz211,22yxyyyxyxyz211.22yxx将y看成常数y1将x看成常数2yx例解.)0(的偏导数求xxzy1yxyxz)(1aaxaxlnxxyzyln)(aaaxx将y看成常数时,是对幂函数求导.将x看成常数时,是对指数函数求导.例解.32的偏导数求zxyxeu;)1(232yexuzxyx;232yxeyuzxyx.)3(232zezuzxyx例解.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导（函）数求设yxfyxyxyxxyyxf例解,)0,0(),(时当yxxxyxxyyxf22),(,)()(22222yxxyy时，当)0,0(),(yx22222)(2)(yxxyxyxyy为常量视00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0xxxfxffxx,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx，得由对称性.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。例已知理想气体的状态方程pV=RT（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTVTpp),(;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT警告各位！偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是xyzO1T2T..tan),(000yyxfxx平面上在tan),(000xyxfyy上在平面),(0yxfz),(0yxfz偏导数的几何意义P),(yxfz0x0y0P),(000上的曲线就是平面xxyyxf01I),(xxyyxfz.),(,000处切线的斜率即点在点yxyy),(000上的曲线就是平面yyxyxf.),(,000处切线的斜率即点在点yxxx0I),(yyxyxfz二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:二、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，例如,讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,在（0,0）处的连续性和可偏导性。,则取xky.1limlim22222002200kkxkxxkyxyxyxyx由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,解.)0,0(),(处不连续在点故函数yxf但是,00lim)0,0()0,(lim00xxxfxf,00lim)0,0(),0(lim00yyyfyf,0)0,0(xf0)0,0(,)0(),(2222fyxyxxyyxf.0)0,0(yf,)0,0(),(且处可偏导在点即函数yxf反之若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？解答不能.例如,,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.想想是什么问题?22(,),xxzzfxyxxx22(,),yyzzfxyyyy2(,),xyzzfxyyxxy).,(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为三、高阶偏导数纯偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.2323(,),xxxzzfxyxxx2322(,),yyxzzfxyxyyx23(,),xyyzzfxyyxyxyy.111xyzyzxnnnn同样可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数：例设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、33xz.解xz,yyyx32233yz;xxyyx239222xz,xy2633xz,y26xyz2.19622yyxyxz2,yyx19622xzx22xzxxzy=问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？.)0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(223点处的二阶混合偏导数在求yxyxyxyxyxf例解,)0,0(),(时当yx223),(yxyxxyxfx,)(232224222yxyxyxyx2223222)(2)(3yxyxxyxyx,)0,0(),(时当yx00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0xxxfxffxx)0,0(),(0)0,0(),()(23),(2224222yxyxyxyxyxyxyxfx)0,0()()0,0(yxxyff0)0,0(),0(lim0yfyfxxy,0000lim0yy.1)0,0(yxf同理可得).0,0()0,0(yxxyff显然定理（充分条件）若fxy(x,y)及fyx(x,y)在(x0,y0)连续，那末fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)．例解.,cos)()00()(2322,x,yaxxyfxfbyex,yf、求设,cosbyaexfax,cos222byeaxfaxyfxxyf2223,sin2bybeaax2223xfyyxf连续.0)0,0(),(23yxxyf另解同前，得;cos),(2byeayxfaxxxyaxybyeyxfcos),(,sinbybeax,0)0,0(yf,0)0()0,0(xyxf.0)0()0,0(xyxxf?)0,0()()0,0(xyyxff.))0,0((xyf例验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu2222yuxu.02222222222)()(yxyxyxxy证毕由对称性，有1、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的几何意义4、高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的充分条件）四、小结3、偏导数存在与连续性的关系一、设zyxu)(,则yzu2__________.二、求下列函数的偏导数:1、yxyz)1(；2、zyxu)arctan(.三、设xyz,求.,22222yxzyzxz和练习题四、设22222222,0(,)0,0xyxyxyxyfxyxy求(0,0),(0,0)xyyxff练习题答案一、)ln1()(yxyzyyxz.二、1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyuzyxyxyxzu2)(1)ln()(2