相似专题六：圆与相似

27.2.1常见圆中相似问题第一部分圆中的相似模型母子型（尤其是直角三角形的母子型）如图，AB是O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，(1)△ACE∽△BDE(2)△ABE∽△ADB(2)求AB的长度如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．AD如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DB2=AB*BE第二部分圆中辅助线1.直径所对的圆周角是90度2.有切线连切点和圆心如图，直线与半径为4的相切于点，是上的一个动点（不与点重合），过点作，垂足为，连接。设，，则的最大值是_____如图，在中，，以为直径的交于点，交于点。（1）求证：。（2）若，，求的长。如图，以的一边直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且。（1）试判断的形状。（2）已知半圆的半径为5，，求AD的值。如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点（1）猜想与的位置关系，并证明你的猜想。（2）若，，求的长。DEFPCBA回顾与反思圆与相似三角形综合题解题思路平行法SSSSASHLAA圆△ABC∽△DEF三角形相似对应角相等对应边成比例在⊙O中，弦AB，CD相交于点P,连接AC.已知AC=2，BD=4，AP=1。(1)证明△ACP∽△DBP;(2)求线段DP的长.OPDCBA基础练习同弧所对的圆周角相等.在⊙O中，弦AB，CD相交于点P,点A为CD弧中点,连接AC,BD,AD,已知AP=2，BP=4.(1)证明△ADP∽△ABD(2)求线段AD的值OPDCBA中考变式2等弧所对的圆周角相等.如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接AC,过点C作CD⊥AB于D点，E是AB上一点,直线CE与⊙O相交于点F,连接AF与线段CD的延长线交于点G.(1)试说明:△ACG∽△AFC.(2)若AG=2，AF=6，求以AC为边的正方形面积.AEDCBFGO中考链接在半径为r的⊙O中，直径AB⊥直径CD，P为弧BC上任意一点，PD交AB于E点，PA交CD于F点.求证:(1)(2)四边形ADEF的面积为r2DEFPCBA思维拓展2ADAEDF圆结合三角形外角内角等知识综合演绎找等角.O小结圆与相似三角形综合题解题思路平行法SSSSASHLAA圆△ABC∽△DEF三角形相似对应角相等对应边成比例在圆中找到相等角的方法:（作辅助线构造）①同弧或等弧所对圆周角相等。③结合三角形外角内角等知识综合演绎。②直径配垂直。练习1如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，且AC=5，AD=4，AB=求圆的直径AE的长（改为求圆的面积呢）42巩固练习中考题解析练习2中考题解析考查了圆周角定理、垂径定理,相似三角形的判定与性质．分析：（1）证明：如图∵∠A与∠B都是对弧CD的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠1=∠2，∴△ADE∽△BCE；．中考题解析考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用2）证明：如图，∵AD2=AE•AC，∴，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，即∠AED=90°，∴直径AC⊥BD，∴CD=CB．练习3△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E。若AB=6，CD=2，求CE的长。ABCDO图1典型例题分析圆与相似三角形综合题证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，∵∠A=∠F，∴∠F=∠BCD=∠BCG，在△BCG和△BFC中，∴△BCG∽△BFC练习4（湖北·黄冈卷）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：BFBGBC2BCBFBGBC2BCBGBF解：延长CG交⊙O于点M,,ABCM直径BCBM,MCBCFB是公共角，又CBFGCBCFB∽BFBGBC2BCBFBGBC练习5△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD、AC、BD，交于点E。(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明；(2)若∠D=45°，BC=2，求⊙O的面积。ABCDOE相似基本图形1.平行相似2.两角相等“A”字型“X”字型（∠1=∠C）(DE∥BC)平移双垂图角特殊化特别注意直角三角形的相似中考题如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．分析：连接OD，由∠A=∠ADO,进而得到∠ODB=90°,直线BD与⊙O相切；连接DE,利用△ADE∽△ACB,进而得到AC：AB=4：5,求出结果。1.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则CE=____.CDBAE9OAEBCD·2、已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AE⊥BC于点E，AB=6，AC=5，AE=4，求AD的长。CABDOE3、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是AC的中点，BD交AC于点E。(1)△CDE与△BDC相似吗？为什么？(2)若DE·DB=16，求DC的长。DCABOE练习1：如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为________．练习2：如图,等边△ABC中内接于圆O,D为弧AC上一点,CD的延长线与BA的延长线交于E,若AB=根号15,DE=2,则CD的长为4.（2012黄冈）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：DB2＝AB·BE．5.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AC＝2根号6，AD＝4，求AB的长．练习1（2012•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．练习2如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD＝3，求△ABC的面积.练习3如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PDB；（2）求证：BC2=AB•BD；（3）若PA=6，PC=6根号2，，求BD的长．6.如图，已知AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD,过点A作CD的垂线，垂足是M点.若AB=6，AM=4，求AC的长.MBOACD7．已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC∥OD,BD切⊙于B,联结CD．（1）判断CD是否为⊙O的切线，若是请证明；若不是请说明理由．（2）若AC=2,OD=6,求⊙O的半径．DCBAO8.如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF.(1)求证：BF是⊙O的切线;(2)设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，①求AC的长；②求∠M的大小；③∠MCF的大小.AFCOBM题型分类·深度剖析【例1】(2014玉林)如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E.(1)求证：∠1＝∠2.(2)已知：OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长．典例精析题型分类·深度剖析【例2】(2014咸宁)如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为的中点，AD＝，AC＝8，求AB和CE的长．AB︵325典例精析题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是()A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练题型分类·对点训练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练题型分类·对点训练3.(2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是()A.AQAP＝ACABB.ACOR＝OQABC.AQAB＝BPBCD.ACAP＝OROP对点训练题型分类·对点训练4.(2014南宁)如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别交于点G、H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．对点训练题型分类·对点训练6.(2014陕西)如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求AC的长．对点训练题型分类·对点训练7.(2014资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．对点训练题型分类·对点训练8.(2014宜昌)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.(1)求证：△ADE∽△CDF；(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与平行四边形ABCD的面积之比．对点训练题型分类·对点训练9.(2014呼和浩特)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM.(1)求证：∠ACM＝∠ABC；(2)延长BC到D，使BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED＝2，求△ACE的外接圆的半径．对点训练构造相似图形间接求已知相似图形直接求相似基本图形的运用学会从复杂图形中分解出基本图形