高考一轮复习-不等式的证明教案-理

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习不等式的证明教案理知识梳理：常用的不等式的证明方法:1、比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差出的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或者几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。2、综合法：利用某些已经证明过的不等式（均值不等式）和不等式的性质，推出所经证明的不等式，这个证明方法叫做综合法，利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系：即从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所经证明的结论B。3分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。4、反证法：正难则反先假设要证明的问题不成立，以此为出发点，结合已知的条件、应用公理，定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法称为反证法。5、放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫放缩法。所谓的放缩技巧：即欲证AB，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使得ACB，由“A到C就是“放”，则B到C就上“缩”。二、题型探究探究一：比较法：例1：若水杯中b克糖水中含有a克糖，假如再加入m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式表示出来，并加以证明。探究二：分析法和综合法例2：已知正数a，b，求证：++探究三：放缩法：例3：求证：1+++…+例4：证明不等式：1+++…+（n）探究五：反证法：例5：已知a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于。四、反思感悟五、课时作业【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.设0＜x＜1，则a=x2,b=1+x,c=x11中最大的一个是（）A.aB.bC.cD.不能确定答案：C解析：因0＜x＜1,故1-x2＞0,即1+x＜x11,b＜c,又1+x-x2=(22x)2+21＞0,故a＜b,即最大的是C.2.(2010北京东城区一模，4)已知a＜0,b＜-1,则下列不等式成立的是（）A.a＞ba＞2baB.2ba＞ba＞aC.ba＞2ba＞aD.ba＞a＞2ba答案：C解析：∵a＜0,b＜-1,则ba＞0,b＞-1.则b2＞1.∴21b＜1.又∵a＜0,∴0＞2ba＞a.∴ba＞2ba＞a.故选C.3.设a＞b＞0，则下列关系式成立的是（）A.aabb＞2)(baabB.aabb＜2)(baabC.aabb=2)(baabD.aabb与2)(baab的大小不确定答案：A.解析：aabb÷2)(baab=2)(baba,因a＞b＞0,故ab＞1,a-b＞0,2)(baba＞1.4.设a,b∈R+，且ab-a-b≥1，则有（）A.a+b≥2(2+1)B.a+b≤2+1C.a+b＜2+1D.a+b＞2(2+1)答案：A.解析：由ab≥1+a+b(2ba)2≥1+a+b,将a+b看作一整体即可.5.若0＜x＜2,设a=2-xsinx,b=cos2x,则下式正确的是()A.a≥bB.a=bC.a＜bD.a＞b答案：D解析：a-b=2-xsinx-cos2x.=sin2x-xsinx+1=(sinx-2x)2+1-42x,因为0＜x＜2,所以0＜42x＜162＜1.所以a-b＞0.6.设a,b,c为△ABC的3条边，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则()A.S≥2PB.P＜S＜2PC.S＞PD.P≤S＜2P答案：D.解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,∴S≥P.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)＞b2+c2+a2=S,∴2P＞S.7.若a,xy∈R+,且x+y≤ayx恒成立，则a的最小值是()A.22B.2C.2D.1答案：B.解析：因(yxyx)2=1+yxxy2≤1+yxxy2=2,故yxyx的最大值为2.即amin=2.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在△ABC中，三边a、b、c的对角分别为A、B、C，若2b=a+c，则角B的范围是___________.答案：0＜B≤3.解析：cosB=acaccaacbca8233222222≥21829222acacca.∴0＜B≤3.9.已知ab+bc+ca=1，则当____________时，|a+b+c|取最小值_________________.答案：a=b=c=33，3解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac=3.10.民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比越大，采光条件越好，则同时增加相等的窗户面积与地板面积，采光条件变_____________（填“好”或“坏”）.答案：好解析：设窗户面积为a，地板面积为b，则a＜b,且ba≥10%,设增加面积为m，易知bambma.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知函数f(x)=x2+ax+b,当p、q满足p+q=1时，试证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对任意实数x、y都成立的充要条件是：0≤p≤1.证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2.∵(x-y)2≥0,∴欲使pq(x-y)2≥0对任意x、y都成立，只需pq≥0p(1-p)≥0p(p-1)≤00≤p≤1.故0≤p≤1是pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立的充要条件.12.若a、b∈R+且a+b=1,求证：2121ba≤2.证明：2121ba≤2a+b+1+22121ba≤42121ba≤1ab+2ba+41≤1ab≤41.∵ab≤(2ba)2=41成立,∴原不等式成立.13.已知a、b、x、y∈R+且ba11,x＞y.求证:byyaxx.证法一：（作差比较法）∵))((byaxaybxbyyaxx,又ba11且，a、b∈R+,∴b＞a＞0.又x＞y＞0,∴bx＞ay.∴))((byaxaybx＞0，即byyaxx.证法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R+,∴要证byyaxx,只需证明x(y+b)＞y(x+a),即证xb＞ya,而同ba11＞0,∴b＞a＞0.又x＞y＞0,xb＞ya显然成立，故原不等式成立.14.给出不等式cxcx221≥cc1(x∈R).经验证：当c=1,2,3时，对于x取一切实数，不等式都成立，试问c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立，若成立，则证明，若不成立，求c的取值范围.解析：由cxcx221≥cc1cx2+cx21≥c+c1(cx2-c)+cx21-c1≥0(cx2-c)(1-ccx21)≥0假设x∈R时恒成立，显然cx2-c≥0即有1-ccx21≥0cx2·c≥1x2≥c1-c左边x2≥0，而右边不恒≤0，故此不等式不能恒成立.若恒成立则必有c1-c≤0,0,012ccc又c≥1时恒成立.