九年级《三角函数》知识点、经典例题

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cotA(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313-cot-313306、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。)90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边ACBbacA90B90得由BA依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。11、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。12、解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)①正弦定理：SinCcSinBbSinAa=2R.(R是△ABC外接圆半径).②余弦定理：c2=a2+b2－2abCosC；b2=c2+a2－2caCosB；a2=c2+b2－2cbCosA.③互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)=sinA，Cos(180－A)=－cosA，tan(180－A)=－cotA，cotA(180－A)=－tanA.④S△ABC＝21absinC=21bcsinA=21casinB.三角函数中考试题分类例题解说:ihlhlα一、三角函数的定义例1：（滨州市）如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于A∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与A∠的函数值无关分析：由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选A。二、利用特殊角的三角函数值计算例4：（辽宁省十二市）计算：242(2cos45sin60)4解：23262(2)224原式662222点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。三、求线段的长度例5：（云南省）已知：如图3，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6。求BC的长（结果保留根号）．分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图4，过点A作AD⊥BC于点D。在Rt△ABD中，∠B=45°，则AD=BD。不妨设AD=x，又AB=6，所以有x2＋x2=62，解得x=3，即AD=BD=3。在Rt△ACD中，由∠ACD=60°得∠CAD=30°而tan30°=CDAD，即32CD，解得CD=。因此BC=BD+DC=3+6。下面也是2007年关于锐角三角函数的中考题，请自己完成。1、（江西省）如图5，在RtABC△中，90C°，abc，，分别是ABC，，的对边，若2ba，则tanA．2、（大连市）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝54，则BC的长为___cm。3、（丽水市）如图6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，3cos4BAC，则梯子AB的长度为米。4、（天津市）45cos45sin的值等于（）A.2B.213C.3D.15、（连云港市）计算：02122sin456、（岳阳市）计算：10)21()13(＋|2-3|＋sin245°图1图3图4ACBcba图5图6ABC7、（眉山市）计算：2sin450＋cos300·tan600—2)3(8、（中山市）如图7，Rt△ABC的斜边AB＝5，cosA＝53。(1)用尺规作图作线段AC的垂直平分线l(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)；(2)若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长。答案：1、12。2、8。3、4。4、A。5、2。6、12。7、-12。8、2。图7ACB一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A．35B．43C．34D．452.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝13，则sinB＝（）A．1010B．23C．34D．310103.（2009·湖州中考）如图，在RtABC△中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A．3sin2AB．1tan2AC．3cos2BD．tan3B3题4题5题4.（2008·温州中考）如图，在RtABC△中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD，3AC，则sinB的值是（）A．23B．32C．34D．435（2007·泰安中考）如图，在ABC△中，90ACB，CDAB于D，若23AC，32AB，则tanBCD的值为（）（A）2（B）22（C）63（D）33二、填空题6.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，53sinA，则AB的长是cm．7.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．7题8题ACBD8.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2．三、解答题9.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=54，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．10.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tancosBDAC，(1)求证：AC=BD；(2)若12sin13C，BC=12，求AD的长．一、选择题2.（2009·长春中考）．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC°，，则点B的坐标为（）A．(21)，B．(12)，C．(211)，D．(121)，3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．83米C．833米D．433米4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且23)10sin(，则等于（）Ａ．50Ｂ．60Ｃ．70Ｄ．805.（2008·毕节中考）A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（）A．1323，B．3323，C．1323，D．1322，6.（2007·襄樊中考）计算：2cos45tan60cos30等于（）（A）1（B）2（C）2（D）3二、填空题7.（2009·荆门中考）104cos30sin60(2)(20092008)=______．8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是米．（结果保留根号）．10.（2007·济宁中考）计算sin60tan45cos30的值是。三、解答题11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°12.（2009·崇左中考）计算：0200912sin603tan30(1)3°°．要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．83米C．833米D．433米2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（）A．14B．4C．117D．4173.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.cos5B.cos5C.sin5D.sin51题2题3题4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5mB．6mC．7mD．8m4题5题5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30BAD°，在C点测得60BCD°，又测得50AC米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25B．253C．10033D．25253二、填空题6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为35，则坡面AC的长度为m．7.（2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_____________海里（结果保留根号）．6题7题8题9题8.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，3cos4BAC，则梯子长AB=米.9.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结α5米AB果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）三、解答题10.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）